《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

28. (10 分)新趋势 推导探究 如图①,直线 $ DE $ 上有一点 $ O $,过点 $ O $ 在直线 $ DE $ 的上方画射线 $ OC $,将一直角三角板 $ AOB $(其中 $ ∠OAB= 30^{\circ} $)的直角顶点放在点 $ O $ 处,一条直角边 $ OA $ 在射线 $ OD $ 上,另一直角边 $ OB $ 在直线 $ DE $ 的上方,将直角三角板绕着点 $ O $ 按每秒 $ 10^{\circ} $ 的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为 $ t $ 秒.
(1) 当直角三角板旋转到如图②的位置时,$ OA $ 恰好平分 $ ∠COD $,则此时 $ ∠BOC $ 与 $ ∠BOE $ 之间的数量关系为______$\angle BOC=\angle BOE$;
(2) 若射线 $ OC $ 的位置保持不变,且 $ ∠COE= 130^{\circ} $.
① 在旋转的过程中,是否存在某个时刻,使射线 $ OA $,$ OC $,$ OD $ 中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线? 若存在,请求出所有满足题意的 $ t $ 的值;若不存在,请说明理由;
② 如图③,在旋转的过程中,边 $ AB $ 与射线 $ OE $ 相交时,请直接写出 $ ∠AOC-∠BOE $ 的值.$40^{\circ}$
(2)① 存在．因为直角三角板绕点$O$按每秒$10^{\circ}$的速度逆时针旋转一周，且$360÷10 = 36$，所以$t$的取值范围为$0\leq t\leq36$．又$\angle COE+\angle COD = 180^{\circ}$，$\angle COE = 130^{\circ}$，所以$\angle COD=180^{\circ}-\angle COE = 50^{\circ}$．分类讨论如下:当射线$OA$平分$\angle COD$时，$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle COD = 25^{\circ}$．又$\angle AOD=(10t)^{\circ}$，所以$10t = 25$，解得$t = 2.5$；当射线$OC$平分$\angle AOD$时，$\angle AOD = 2\angle COD = 100^{\circ}$．又$\angle AOD=(10t)^{\circ}$，所以$10t = 100$，解得$t = 10$；当射线$OD$平分$\angle AOC$时，$\angle AOD=\angle COD = 50^{\circ}$．又$\angle AOD=(360 - 10t)^{\circ}$，所以$360 - 10t = 50$，解得$t = 31$．综上，当$t$的值为$2.5$或$10$或$31$时，射线$OA$，$OC$，$OD$中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线．

答案： （1）$\angle BOC=\angle BOE$　解析:因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOC+\angle BOC = 90^{\circ}$．又$OA$平分$\angle COD$，所以$\angle AOC=\angle AOD$．又$\angle AOD+\angle AOC+\angle BOC+\angle BOE = 180^{\circ}$，所以$\angle AOD+\angle BOE=180^{\circ}-(\angle AOC+\angle BOC)=90^{\circ}$，即$\angle BOC=\angle BOE$．（2）① 存在．因为直角三角板绕点$O$按每秒$10^{\circ}$的速度逆时针旋转一周，且$360÷10 = 36$，所以$t$的取值范围为$0\leq t\leq36$．又$\angle COE+\angle COD = 180^{\circ}$，$\angle COE = 130^{\circ}$，所以$\angle COD=180^{\circ}-\angle COE = 50^{\circ}$．分类讨论如下:当射线$OA$平分$\angle COD$时，$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle COD = 25^{\circ}$．又$\angle AOD=(10t)^{\circ}$，所以$10t = 25$，解得$t = 2.5$；当射线$OC$平分$\angle AOD$时，$\angle AOD = 2\angle COD = 100^{\circ}$．又$\angle AOD=(10t)^{\circ}$，所以$10t = 100$，解得$t = 10$；当射线$OD$平分$\angle AOC$时，$\angle AOD=\angle COD = 50^{\circ}$．又$\angle AOD=(360 - 10t)^{\circ}$，所以$360 - 10t = 50$，解得$t = 31$．综上，当$t$的值为$2.5$或$10$或$31$时，射线$OA$，$OC$，$OD$中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线．② $\angle AOC-\angle BOE = 40^{\circ}$．　解析:因为$\angle COE = 130^{\circ}$，$\angle AOE+\angle AOC=\angle COE$，$\angle AOE+\angle BOE=\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOC-\angle BOE=\angle COE-\angle AOB = (130^{\circ}-90^{\circ})=40^{\circ}$．