《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

27. (8 分)已知$A型机器和B$型机器生产同样的产品,且 5 台$A$型机器一天生产的产品装满 8 箱后还剩 4 个,7 台$B$型机器一天生产的产品装满 11 箱后还剩 1 个,每台$A型机器比每台B$型机器一天多生产 1 个产品.(箱子大小完全相同)
(1) 求每箱装多少个产品;
(2) 现需生产$m$箱产品.若用$a台A型机器和b台B$型机器同时生产,则需要______$\frac{12m}{20a+19b}$______天完成(用含$a$,$b$,$m$的代数式表示);
(3) 若每台$A$型机器生产一天的成本费用是 110 元,每台$B$型机器生产一天的成本费用是 100 元,可以使用的$A$型机器最少 18 台,最多 20 台,现要在一天内生产 38 箱产品,请直接写出总成本的最小值.
2490元

答案：
(1)设每箱装x个产品. 由题意，得$\frac{8x+4}{5}-\frac{11x+1}{7}$=1，解得x=12. 所以每箱装12个产品.
(2)$\frac{12m}{20a+19b}$ 解析：由
(1)，得每箱装12个产品，所以每台A型机器一天可生产$\frac{8×12+4}{5}$=20(个)产品，每台B型机器一天可生产$\frac{11×12+1}{7}$=19(个)产品. 需要天数为$\frac{12m}{20a+19b}$.
(3)总成本的最小值为2490元. 解析：设需要A型机器p台，B型机器q台，总成本为W元. 同
(2)，得1=$\frac{12×38}{20p+19q}$，所以q=24-$\frac{20}{19}$p. 又W=110p+100q=110p+100$(24-\frac{20}{19}p)$=2400+$\frac{90}{19}$p，且18≤p≤20，p，q都是正整数，所以当p=19时，总成本W取最小值，且最小值为2400+$\frac{90}{19}$×19=2490(元).