《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

12. (16 分)如图①,$∠AOC= m^{\circ },∠BOC= n^{\circ }$,且 m,n 满足等式$|3m-420|+(2n-40)^{2}= 0$,射线 OP 从射线 OB 处开始绕点 O 以$4^{\circ }/s$的速度按逆时针方向旋转.
(1) 试求$∠AOB$的度数;
(2) 当射线 OP 从射线 OB 处开始绕点 O 按逆时针方向旋转至射线 OA 停止,同时射线 OQ 从射线 OA 处以$1^{\circ }/s$的速度绕点 O 按顺时针方向旋转至射线 OB 停止,当它们旋转多长时间时,$∠POQ= 10^{\circ }$?
(3) 如图②,若射线 OD 为$∠AOC$的平分线,当射线 OP 从射线 OB 处开始绕点 O 逆时针方向旋转至射线 OA 停止,同时射线 OT 从射线 OD 处以$x^{\circ }/s$的速度绕点 O 按顺时针方向旋转至射线 OB 停止,当这两条射线重合于射线 OE 处(射线 OE 在$∠DOC$的内部),且$\frac {∠COE}{∠DOE+∠BOE}= \frac {4}{9}$时,求 x 的值.

答案：
(1)因为|3m - 420|+(2n - 40)² = 0,且|3m - 420|≥0,(2n - 40)²≥0,所以3m - 420 = 0,2n - 40 = 0,解得m = 140,n = 20.又∠AOC = m°,∠BOC = n°,所以∠AOC = 140°,∠BOC = 20°,即∠AOB = ∠AOC+∠BOC = 160°.
(2)由
(1),得∠AOB = 160°.设当它们旋转t s时,∠POQ = 10°.由题意,得∠AOQ = t°,∠BOP = (4t)°.分类讨论如下:① 射线OP与射线OQ相遇前,∠AOQ+∠BOP+∠POQ = ∠AOB,所以t+4t+10 = 160,解得t = 30;② 射线OP与射线OQ相遇后,∠AOQ+∠BOP - ∠POQ = ∠AOB,所以t+4t - 10 = 160,解得t = 34.综上,当它们旋转30 s或34 s时,∠POQ = 10°.
(3)由
(1),得∠AOC = 140°,∠BOC = 20°,∠AOB = 160°.设t s后两条射线重合于射线OE处,则∠BOE = (4t)°,∠DOE = (xt)°.因为OD是∠AOC的平分线,所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 70°.所以∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90°.因为$\frac{∠COE}{∠DOE + ∠BOE}$ = $\frac{4}{9}$,∠DOE + ∠BOE = ∠BOD = 90°,所以∠COE = $\frac{4}{9}$∠BOD = 40°.则∠DOE = ∠COD - ∠COE = 30°,∠BOE = ∠BOC+∠COE = 60°.所以4t = 60,解得t = 15.所以15x = 30,解得x = 2.则x的值为2.

【Ⅰ】如图①,请你用“数形结合”的思想解答下列问题.
(1) $\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{2^{4}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值为1 - $\frac{1}{2ⁿ}$;
(2) 请你利用(1)的结论,求下列各式的值:
① $\frac {1}{2^{7}}+\frac {1}{2^{8}}+\frac {1}{2^{9}}+... +\frac {1}{2^{2025}}= $$\frac{1}{2⁶}$ - $\frac{1}{2²⁰²⁵}$,

答案：
(1)1 - $\frac{1}{2ⁿ}$
(2)① $\frac{1}{2⁶}$ - $\frac{1}{2²⁰²⁵}$ 解析:原式=($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2³}$ +…+ $\frac{1}{2²⁰²⁵}$)-($\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{2³}$ +…+ $\frac{1}{2⁶}$)= (1 - $\frac{1}{2²⁰²⁵}$)-(1 - $\frac{1}{2⁶}$) = $\frac{1}{2⁶}$ - $\frac{1}{2²⁰²⁵}$.