《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

25. (8分)新素养模型观念十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几个简单多面体模型,解答下列问题:


(1) 根据上面的简单多面体模型,填写下表:
| 简单多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| 四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
观察上表,你发现顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间存在的关系式是______;
(2) 若一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是______;
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该简单多面体外表面三角形有x个,八边形有y个,求$ x + y $的值.
$E = V + F - 2$
20
由题意得$V = 24$,$E = (24×3)÷2 = 36$,$F = x + y$.由$E = V + F - 2$,得$36 = 24 + x + y - 2$,解得$x + y = 14$.则$x + y$的值为$14$.

答案： 25.
(1) $E = V + F - 2$
(2) 20 解析:设这个多面体的面数是 m,则这个多面体的顶点数是$m - 8$.由题意,得$m + m - 8 - 30 = 2$,解得$m = 20$.则这个多面体的面数是$20$.
(3) 由题意得$V = 24$,$E = (24×3)÷2 = 36$,$F = x + y$.由$E = V + F - 2$,得$36 = 24 + x + y - 2$,解得$x + y = 14$.则$x + y$的值为$14$.

26. (8分)如图①,边长为$ a \text{ cm} $的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形,这样可制作一个无盖的长方体纸盒,设该纸盒的底面边长为$ x \text{ cm} $.
(1) 这个纸盒的底面积是$x^2$$ \text{cm}^2 $,高是$\frac{a - x}{2}$$ \text{cm} $(用含a,x的代数式表示);
(2) 若将正方形硬纸板按图②方式裁剪,亦可制作一个无盖的长方体纸盒.
① 若为该纸盒制作一长方形盖子,则该长方形盖子的两边长分别是$(a - 2y)$$ \text{cm} $,$y$$ \text{cm} $(用含a,y的代数式表示);
② 已知A,B,C,D四个面上分别标有整式$ 2(m + 2),m,- 3,6 $,且该纸盒的相对两个面上的整式之和相等,求m的值.由题图,得 A 与 C 两个面相对,B 与 D两个面相对.由题意,得 2(m + 2) + (-3) = m + 6,解得 m = 5.则 m 的值为 5.

答案： 26.
(1)$x^2$ $\frac{a - x}{2}$
(2)①$(a - 2y)$ $y$
②由题图,得 A 与 C 两个面相对,B 与 D两个面相对.由题意,得 2(m + 2) + (-3) = m + 6,解得 m = 5.则 m 的值为 5.