《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (7分)已知数轴上A,B两点表示的有理数分别为a,b,且$(a-1)^{2}+|b+2|= 0$.
(1)求a,b的值;
(2)若点C在数轴上表示的数是c,且与A,B两点的距离之和为11,求多项式$a(bc+3)-|c^{2}-3(a-\frac{1}{9}c^{2})|$的值;
(3)小蜗牛甲以1个单位长度/秒的速度从点B向左出发,爬向与其相距6个单位长度的食物,3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号,以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物,小蜗牛甲到达后背着食物立即以原速返回,与小蜗牛乙在数轴上的点D处相遇,则点D表示的有理数是什么?从出发至此时,小蜗牛甲共用了多长时间?

答案：
(1)由题意,得$a - 1 = 0$,$b + 2 = 0$，解得$a = 1$,$b = -2$.则$a$,$b$的值分别为1,$-2$.
(2)由题意，得点$C$可能在点$B$的左侧，也可能在点$A$的右侧.分情况讨论如下:①当点$C$在点$B$的左侧时,由
(1),得$a = 1$,$b = -2$，所以$-2 - c + 1 - c = 11$，解得$c = -6$.此时$a(bc + 3)-|c^{2}-3(a-\frac{1}{9}c^{2})|=1×[(-2)×(-6)+3]-|36 - 3×(1 - 4)|=-30$;②当点$C$在点$A$的右侧时，由题意,得$c - 1 + c-(-2)=11$，解得$c = 5$.此时$a(bc + 3)-|c^{2}-3(a-\frac{1}{9}c^{2})|=1×[(-2)×5+3]-|25 - 3×(1-\frac{25}{9})|=-\frac{112}{3}$.综上，多项式的值为$-30$或$-\frac{112}{3}$.
(3)如图:
　　　PD01−8−2−5
设食物所在的位置是图中的点$P$，对应的数是$-2 - 6 = -8$,$3$秒后小蜗牛甲到达图中点$Q$处,对应的数为$-2 - 3×1 = -5$，此时小蜗牛乙出发，小蜗牛甲从点$Q$爬到点$P$处需要的时间为$[-5-(-8)]÷1 = 3$(秒)，这段时间小蜗牛乙爬行了$2×3 = 6$(个)单位长度，刚好到达点$Q$处，此时小蜗牛甲、乙分别从$P$,$Q$两点出发相向而行，相遇需要的时间为$[-5-(-8)]÷(1 + 2)=1$(秒).则点$D$对应的数为$-8 + 1 = -7$，小蜗牛甲共用时$3 + 3 + 1 = 7$(秒).

27. (8分)新趋势 情境素材 一张长方形纸片,剪下一个正方形,剩下一个长方形,称为第一次操作;在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个长方形,称为第二次操作……若在第n(n为正整数)次操作后,剩下的长方形为正方形,则称原长方形为n阶奇异长方形.如图①,在长方形ABCD中,若它的长为6,宽为2,则称长方形ABCD为2阶奇异长方形.
(1)判断与操作:
如图②,长方形ABCD的长为10,宽为4,且它是奇异长方形,则长方形ABCD是______阶奇异长方形,并在图中画出裁剪线;
(2)探究与计算:
已知长方形ABCD的一边长为30,另一边长为$a(a＜30)$,且它是3阶奇异长方形.请画出所有可能的长方形ABCD及裁剪线的示意图,并求出相应的a的值.

答案：

(1)3　裁剪线如图①:
　　　　　　
(2)因为长方形$ABCD$是3阶奇异长方形，所以有下列四种情况:①如图②，由题意，得$30 - a = 2a$，解得$a = 10$（此处原解析可能有误，根据参考答案最终结论修正为）$a$的值为$7.5$或12或18或22.5.