《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

27. (8分)同学们都知道|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索:
(1) |5-(-2)|=7;
(2) 若存在整数x,使得|x+5|+|x-2|= 7,则这样的整数x是-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2;
(3) 对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值? 如果有,请求出最小值;如果没有,请说明理由;
有.因为|x-3|+|x-6|可以理解为数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数6的点的距离之和,所以|x-3|+|x-6|有最小值,且最小值为6-3=3.
(4) 对于任何有理数x,|x+4|+|x+2|+|x-3|是否有最小值? 如果有,请求出最小值及此时x的值;如果没有,请说明理由.
有.因为|x+4|+|x+2|+|x-3|可以理解为数轴上表示数x的点到表示数-4的点的距离、到表示数-2的点的距离与到表示数3的点的距离之和,所以当x=-2时,|x+4|+|x+2|+|x-3|取最小值,且最小值为7.

答案：
(1)7
(2)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2
(3)有.因为|x-3|+|x-6|可以理解为数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数6的点的距离之和,所以|x-3|+|x-6|有最小值,且最小值为6-3=3.
(4)有.因为|x+4|+|x+2|+|x-3|可以理解为数轴上表示数x的点到表示数-4的点的距离、到表示数-2的点的距离与到表示数3的点的距离之和,所以当x=-2时,|x+4|+|x+2|+|x-3|取最小值,且最小值为7.

28. (9分)如图,数轴上A,B两点对应的数分别为-8和4,P为数轴上一动点.当点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍时,我们就称点P是关于A→B的“好点”.
(1) 若点P到点A的距离等于点P到点B的距离,求点P表示的数;
(2) ① 若点P运动到原点O,则此时点P______不是(填“是”或“不是”)关于A→B的“好点”,
② 若点P以每秒1个单位长度的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间;
(3) 若点P在原点O的左边(即点P对应的数为负数),且P,A,B三点中有一个点是关于其他任意两个点的“好点”,请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
(1)-2
(2)②1秒或10秒
(3)-4,-5,-12,-14,-32,-44

答案：
(1)因为数轴上A,B两点对应的数分别为-8和4,所以A,B两点间的距离为4-(-8)=12.设点P表示的数为x.因为点P到A,B两点的距离相等,所以点P到点A的距离为A,B两点间距离的一半,且点P在A,B两点之间,即x-(-8)=$\frac{1}{2}$×12,解得x=-2.所以点P表示的数是-2.
(2)① 不是 解析:当点P运动到原点O时,A,P两点间的距离为8,B,P两点间的距离为4.因为8÷4=2≠3,所以点P不是关于A→B的“好点”. ② 设点P的运动时间为t秒.由题意,得A,P两点间的距离为t+8,B,P两点间的距离为|4-t|.又点P是关于A→B的“好点”,所以t+8-3|4-t|=0,解得t=1或t=10.所以点P的运动时间为1秒或10秒.
(3)点P表示的数是-4,-5,-12,-14,-32,-44. 解析:设点P表示的数为n,则A,P两点间的距离为n+8或-8-n,B,P两点间的距离为4-n,且A,B两点间的距离为12.分六种情况进行讨论:① 当点A是关于P→B的“好点”时,-8-n=36,解得n=-44;② 当点A是关于B→P的“好点”时,3(-8-n)=12或3(n+8)=12,解得n=-12或n=-4;③ 当点P是关于A→B的“好点”时,由
(2)②,易得此种情况不存在;④ 当点P是关于B→A的“好点”时,4-n-3(n+8)=0或4-n-3(-8-n)=0,解得n=-5或n=-14;⑤ 当点B是关于P→A的“好点”时,4-n=36,解得n=-32;⑥ 当点B是关于A→P的“好点”时,3(4-n)=12,解得n=0(舍去).综上,所有符合条件的点P表示的数是-4,-5,-12,-14,-32,-44.