《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

27. (9 分)同一个图形绕不同的轴旋转时,得到的图形一般不同.如图是一个直角三角形.
(1) 当该三角形绕着长为 3 cm 的边所在的直线旋转一周时,得到的是一个什么几何体? 请求出这个几何体的体积(结果保留 π);
(2) 当该三角形绕着长为 4 cm 的边所在的直线旋转一周时,得到的是一个什么几何体? 请求出这个几何体的体积(结果保留 π);
(3) 当该三角形绕着长为 5 cm 的边所在的直线旋转一周时,请你描述得到的这个几何体的形状;
(4) 当该三角形绕着图中所示的直线旋转一周时,得到的是一个什么几何体? 请求出这个几何体的体积(结果保留 π).

答案：
(1)旋转一周后得到的几何体是一个圆锥,其底面圆的半径为4 cm,高为3 cm.则该圆锥的体积$V=\frac{1}{3}\pi×4^{2}×3=16\pi$(cm³).
(2)旋转一周后得到的几何体是一个圆锥,其底面圆的半径为3 cm,高为4 cm.则该圆锥的体积$V=\frac{1}{3}\pi×3^{2}×4=12\pi$(cm³).
(3)旋转一周后得到的是一个由两个底面圆半径相等但高不相等的圆锥组成的几何体.
(4)旋转一周后得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体,其中圆柱和圆锥的底面圆半径均为4 cm,高均为3 cm.则该几何体的体积$V=\pi×4^{2}×3-\frac{1}{3}\pi×4^{2}×3=32\pi$(cm³).

28. (9 分)在正方体的八个顶点处各写一个数,使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和.例如:如图①,与点 A 连接的三条棱上的另外三个顶点处,分别写有 1,2,3,那么点 A 处的数等于 $ 1 + 2 + 3 = 6 $.请根据这个规则,解答与图②相关的问题:
(1) ① 若 A,C,E 三点处分别写有 2,-5,0,则点 F 处的数为______,
② 若 A,B,C 三点处分别写有 3,4,7,则点 D 处的数为______;
(2) 若 A,C,D 三点处分别写有 2 025,1,23,求点 E 处的数;
(3) 顶点 D,F 处的数之间具有什么数量关系? 并说明理由.

答案：

(1)①-3 ②-6
(2)如图,设E,F,G,H四点处写的数分别为e,f,g,h.由题意,得e=h+g+f,h=2025+23+e,g=e+23+1,f=2025+1+e,所以h+g+f=2×2025+2×23+1×2+3e=e,解得e=-2049.所以点E处的数为-2049.
(3)顶点D,F处的数相加得到的和为0.理由如下:如图,设A,B,C,D,E,F,G,H八点处写的数分别为a,b,c,d,e,f,g,h.由题意,得d=b+h+g,b=a+d+c,h=a+e+d,g=c+d+e,f=e+a+c.所以b+h+g=a+d+c+a+e+d+c+d+e=2a+2c+2e+3d=d.所以a+d+e+c=0,即d+f=0.所以顶点D,F处的数相加得到的和为0.