《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

24. (10 分)新趋势 推导探究 如图①,已知 $\angle AOB$,射线 $O'C$.
【作图思考】
用直尺和圆规作 $\angle CO'D= \angle AOB$(作出符合条件的一种情况即可,保留作图痕迹,不要求写作法).
【操作探究】
(1) 将 $\angle AOB$ 与上述所作 $\angle CO'D$ 按如图②所示方式摆放,使 $OA// O'C$.判断 OB 与 $O'D$ 之间的位置关系,并说明理由;
(2) 将 $\angle AOB$ 与上述所作 $\angle CO'D$ 按如图③所示方式摆放,使点 O 与点 $O'$ 重合,$\angle CO'D$ 可绕点 O 旋转(本小题中的角均大于 $0^{\circ}$ 且小于等于 $180^{\circ}$).
① 若 OC 平分 $\angle BOD,\angle AOD = k\angle BOC$,则 $k=$3;
② 若 $\angle AOB = 40^{\circ}$,且 $\angle AOD = 5\angle BOC$,求 $\angle BOC$ 的度数.因为∠AOB =∠COD，∠AOB = 40°，所以∠COD = 40°.分类讨论如下:当射线 OC 在∠AOB 的内部时,∠AOD =∠AOB +∠COD -∠BOC = 80° -∠BOC.因为∠AOD = 5∠BOC，所以 80° -∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = $(\frac{40}{3})^{\circ}$；当射线 OC 在∠AOB 的外部，且射线 OD 在射线 OA 上方时，∠AOD =∠AOB +∠BOC +∠COD = 80° +∠BOC.同理，得 80° +∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = 20°；当射线 OC 在直线 OB 的左侧，且射线 OD 在射线 OA 下方时，∠AOD = 360° -∠AOB -∠BOC -∠COD = 280° -∠BOC.同理，得 280° -∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = $(\frac{140}{3})^{\circ}$.此时∠AOD = 5∠BOC = $(\frac{700}{3})^{\circ}$＞180°，不符合题意，舍去；当射线 OC，射线 OD 都在直线 OB 右侧时，显然∠BOC＞∠AOD，不符合题意.综上，∠BOC 的度数为$(\frac{40}{3})^{\circ}$或 20°.

答案： 【作图思考】作图略.【操作探究】（1）OB//O'D.理由如下:延长 OB 交 O'C 于点 E.因为 OA//O'C，所以∠AOB =∠OEC.因为∠AOB =∠CO'D，所以∠CO'D =∠OEC，即 OB//O'D.（2）① 3 解析:因为 OC 平分∠BOD，所以∠COD =∠BOC.又∠COD =∠AOB，所以∠COD =∠BOC =∠AOB，即∠AOD = 3∠BOC.又∠AOD = k∠BOC，所以 k = 3.② 因为∠AOB =∠COD，∠AOB = 40°，所以∠COD = 40°.分类讨论如下:当射线 OC 在∠AOB 的内部时,∠AOD =∠AOB +∠COD -∠BOC = 80° -∠BOC.因为∠AOD = 5∠BOC，所以 80° -∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = $(\frac{40}{3})^{\circ}$；当射线 OC 在∠AOB 的外部，且射线 OD 在射线 OA 上方时，∠AOD =∠AOB +∠BOC +∠COD = 80° +∠BOC.同理，得 80° +∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = 20°；当射线 OC 在直线 OB 的左侧，且射线 OD 在射线 OA 下方时，∠AOD = 360° -∠AOB -∠BOC -∠COD = 280° -∠BOC.同理，得 280° -∠BOC = 5∠BOC，即∠BOC = $(\frac{140}{3})^{\circ}$.此时∠AOD = 5∠BOC = $(\frac{700}{3})^{\circ}$＞180°，不符合题意，舍去；当射线 OC，射线 OD 都在直线 OB 右侧时，显然∠BOC＞∠AOD，不符合题意.综上，∠BOC 的度数为$(\frac{40}{3})^{\circ}$或 20°.