《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (7 分)如图,$AC// EF$,$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$.
(1) 求证:$∠FAB = ∠BDC$.请将下面的证明过程补充完整;
证明:因为$AC// EF$(已知),
所以$∠1 + ∠FAC = 180^{\circ}$(两直线平行，同旁内角互补).
又$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$(已知),
所以$∠FAC=∠2$(同角的补角相等).
所以$FA// CD$(内错角相等，两直线平行).
所以$∠FAB = ∠BDC$(两直线平行，同位角相等).
(2) 若$AC平分∠FAD$,$EF\perp BE于点E$,$∠FAD = 70^{\circ}$,求$∠BCD$的度数.

(2)因为AC平分∠FAD，∠FAD=70°，所以∠FAC=$\frac{1}{2}$∠FAD=35°. 由(1)，得∠FAC=∠2，则∠2=35°. 因为EF⊥BE，AC//EF，所以AC⊥BE，即∠ACB=90°. 所以∠BCD=∠ACB−∠2=55°.

答案：
(1)两直线平行，同旁内角互补 ∠FAC=∠2 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
(2)因为AC平分∠FAD，∠FAD=70°，所以∠FAC=$\frac{1}{2}$∠FAD=35°. 由
(1)，得∠FAC=∠2，则∠2=35°. 因为EF⊥BE，AC//EF，所以AC⊥BE，即∠ACB=90°. 所以∠BCD=∠ACB−∠2=55°.

24. (9 分)作图和说理
(1) 如图①,在公路$MN的两侧各有一所学校A$,$B$,一辆拖拉机沿着$MN$(从点$M到点N$)方向行驶.
① 请在公路$MN上作一点C$,使得拖拉机行驶到该点时在学校$A$听到的拖拉机噪声最大;在公路$MN上作一点D$,使得拖拉机行驶到该点时在学校$B$听到的拖拉机噪声最大.你的依据是______,
② 在公路$MN$上的______段,随着拖拉机的行驶,在学校$A$听到的拖拉机噪声越来越小,而在学校$B$听到的拖拉机噪声越来越大;
(2) 如图②,有一$∠POQ$.
① 利用无刻度的直尺和圆规,在射线$OQ的下方作∠OQR$,使得$∠OQR = ∠POQ$(不写作法,保留作图痕迹);
② $OP与QR$之间的位置关系是______,理由:______.
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答案：

(1)① 如图①，C，D两点即为所作. 垂线段最短 ② CD
(2)① 如图②，∠OQR即为所作. ② OP//QR 内错角相等，两直线平行