《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

27. (8 分)如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为 a,b,且 a,b 满足$|a+5|+(b-10)^{2}= 0$.
(1)$a=$-5,$b=$10;
(2)P,Q 两点分别从 A,B 两点同时出发向右运动,点 P 的运动速度为每秒 5 个单位长度,点 Q 的运动速度为每秒 4 个单位长度,运动时间为 t 秒.
① 当$t= 2$时,求 P,Q 两点之间的距离;由题意,得点P表示的数为5t-5,点Q表示的数为4t+10.当t=2时,点P表示的数为5×2-5=5,点Q表示的数为4×2+10=18.所以P,Q两点之间的距离为18-5=13
② 在 P,Q 两点的运动过程中,共有多长时间 P,Q 两点之间的距离不超过 3 个单位长度?当点P与点Q重合前,且P,Q两点之间的距离为3个单位长度时,4t+10-(5t-5)=3,解得t=12;当点P与点Q重合后,且P,Q两点之间的距离为3个单位长度时,5t-5-(4t+10)=3,解得t=18.又18-12=6(秒),所以共有6秒P,Q两点之间的距离不超过3个单位长度
③ 当$t≤15$时,在 P,Q 两点的运动过程中,用 AP 表示 A,P 两点之间的距离,PQ 表示 P,Q 两点之间的距离. 若$AP+mPQ= 75$(m 为常数)始终成立,求 m 的值.当点P与点Q重合时,4t+10-(5t-5)=0,解得t=15.所以当t≤15时,点P在点Q的左边(包含重合).则AP=5t,PQ=4t+10-(5t-5)=15-t.所以AP+mPQ=5t+m(15-t).又AP+mPQ=75(m为常数)始终成立,所以5t+m(15-t)=75,即(5-m)t+15m-75=0始终成立.则5-m=0,15m-75=0,解得m=5.所以m的值为5

答案： （1）-5；10；（2）①由题意,得点P表示的数为5t-5,点Q表示的数为4t+10.当t=2时,点P表示的数为5×2-5=5,点Q表示的数为4×2+10=18.所以P,Q两点之间的距离为18-5=13;②当点P与点Q重合前,且P,Q两点之间的距离为3个单位长度时,4t+10-(5t-5)=3,解得t=12;当点P与点Q重合后,且P,Q两点之间的距离为3个单位长度时,5t-5-(4t+10)=3,解得t=18.又18-12=6(秒),所以共有6秒P,Q两点之间的距离不超过3个单位长度;③当点P与点Q重合时,4t+10-(5t-5)=0,解得t=15.所以当t≤15时,点P在点Q的左边(包含重合).则AP=5t,PQ=4t+10-(5t-5)=15-t.所以AP+mPQ=5t+m(15-t).又AP+mPQ=75(m为常数)始终成立,所以5t+m(15-t)=75,即(5-m)t+15m-75=0始终成立.则5-m=0,15m-75=0,解得m=5.所以m的值为5

28. (10 分)(新素养 应用意识)若一个四位数$t= \overline {abcd}$,其千位上的数字的 5 倍与后三位组成的数之和称为 t 的“笃学数”,记为$D(t)$,“笃学数”百位上的数字的 5 倍与后两位组成的数之和称为 t 的“图新数”,记为$T(t)$. 例如:3 412 的“笃学数”为$D(3412)= 3×5+412= 427$,3 412 的“图新数”$T(3412)= 4×5+27= 47$.
(1)$D(6234)=$264,$T(6234)=$74;
(2)若一个千位上的数字为 4、十位上的数字为 6 的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被 33 整除,求该四位数.
设这个四位数为$\overline{4a6b}$(0≤a≤9,0≤b≤9,且a,b为整数),则D($\overline{4a6b}$)=4×5+100a+60+b=100a+80+b=$\overline{a8b}$,即T($\overline{4a6b}$)=5a+80+b.所以D($\overline{4a6b}$)+T($\overline{4a6b}$)=100a+80+b+5a+80+b=105a+2b+160.由题意,得105a+2b+160能被33整除,且105a+2b+160=33(3a+5)+6a+2b-5,所以6a+2b-5能被33整除.又0≤a≤9,0≤b≤9,所以6a+2b-5的最大值为67,最小值为-5.所以分情况讨论如下:① 当6a+2b-5=0时,整数a,b不存在;② 当6a+2b-5=33时,有a=4,b=7或a=5,b=4或a=6,b=1三种情况满足题意,此时该四位数为4467或4564或4661;③ 当6a+2b-5=66时,整数a,b不存在.综上,该四位数为4467或4564或4661

答案： （1）264；74；（2）设这个四位数为$\overline{4a6b}$(0≤a≤9,0≤b≤9,且a,b为整数),则D($\overline{4a6b}$)=4×5+100a+60+b=100a+80+b=$\overline{a8b}$,即T($\overline{4a6b}$)=5a+80+b.所以D($\overline{4a6b}$)+T($\overline{4a6b}$)=100a+80+b+5a+80+b=105a+2b+160.由题意,得105a+2b+160能被33整除,且105a+2b+160=33(3a+5)+6a+2b-5,所以6a+2b-5能被33整除.又0≤a≤9,0≤b≤9,所以6a+2b-5的最大值为67,最小值为-5.所以分情况讨论如下:① 当6a+2b-5=0时,整数a,b不存在;② 当6a+2b-5=33时,有a=4,b=7或a=5,b=4或a=6,b=1三种情况满足题意,此时该四位数为4467或4564或4661;③ 当6a+2b-5=66时,整数a,b不存在.综上,该四位数为4467或4564或4661