《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

28. (8分)新趋势 情境素材 (2025·江苏苏州模拟)在数学中,称按一定顺序排列的一列数为数列,其中排在第一位的数称为第一项,用a_{1}表示;排在第二位的数称为第二项,用a_{2}表示;…;排在第n(n为正整数)位的数称为第n项,用a_{n}表示,并称a_{n}为数列的通项.如果一个数列从第二项起,每一项与它相邻的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常表示为d.
(1)根据以上表述,可得a_{2}= a_{1}+d;a_{3}= a_{1}+2d;a_{4}= a_{1}+3d……则通项a_{n}= ______a₁+(n-1)d;
(2)已知数列8,5,2……为等差数列,请判断-100是否是此等差数列的某一项?若是,请求出是第几项;若不是,请说明理由;
是.由题意，得aₙ=8+(n-1)×(-3).当aₙ=-100时,8+(n-1)×(-3)=-100,解得n=37.则-100是此等差数列的项,且是第37项.
(3)200多年前,数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1 + 2 + 3+…+100的值.我们从这个方法中受到启发,用下面方法计算数列1,2,3,…,n的前n项和:
请你仿照上面的研究方式,解答下面的问题:若a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n}为等差数列的前n项,且前n项和S_{n}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n},说明$:S_{n}= \frac{n[2a_{1}+(n - 1)d]}{2}.$
因为Sₙ=a₁+a₂+a₃+…+aₙ,且Sₙ=aₙ+aₙ₋₁+aₙ₋₂+…+a₁,所以2Sₙ=(a₁+aₙ)+(a₂+aₙ₋₁)+(a₃+aₙ₋₂)+…+(aₙ+a₁).又a₁+aₙ=a₁+aₙ₋₁+d=a₁+d+aₙ₋₁=a₂+aₙ₋₁=a₂+aₙ₋₂+d=a₃+aₙ₋₂……所以2Sₙ=n(a₁+aₙ),即Sₙ=(n(a₁+aₙ))/2.又aₙ=a₁+(n-1)d,所以Sₙ=(n[a₁+a₁+(n-1)d])/2=(n[2a₁+(n-1)d])/2.

答案：
(1)a₁+(n-1)d
(2)是.由题意，得aₙ=8+(n-1)×(-3).当aₙ=-100时,8+(n-1)×(-3)=-100,解得n=37.则-100是此等差数列的项,且是第37项.
(3)因为Sₙ=a₁+a₂+a₃+…+aₙ,且Sₙ=aₙ+aₙ₋₁+aₙ₋₂+…+a₁,所以2Sₙ=(a₁+aₙ)+(a₂+aₙ₋₁)+(a₃+aₙ₋₂)+…+(aₙ+a₁).又a₁+aₙ=a₁+aₙ₋₁+d=a₁+d+aₙ₋₁=a₂+aₙ₋₁=a₂+aₙ₋₂+d=a₃+aₙ₋₂……所以2Sₙ=n(a₁+aₙ),即Sₙ=(n(a₁+aₙ))/2.又aₙ=a₁+(n-1)d,所以Sₙ=(n[a₁+a₁+(n-1)d])/2=(n[2a₁+(n-1)d])/2.