《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

28. (10分)新趋势 综合实践 如图,在数轴上点A表示的数为-20,点B表示的数为40,动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向匀速运动,动点Q从原点O出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向匀速运动,动点N从点B出发以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动,到达原点后立即按原速返回,三点同时出发,当点N回到点B时,三点停止运动.设运动的时间为ts.
(1)当$0＜t＜5$时,P,Q,N三点在数轴上所表示的三个数分别为−20+5t,4t,40−8t(用含t的代数式表示);
(2)当Q,N两点间的距离为10时,求此时点P在数轴上表示的数;
由题意，得Q,N两点相遇的时间为10/3 s,点Q到点B的时间为10 s;点N到点O 的时间为5 s,点N回到点B的时间为10 s;点N到达点O之前，点P表示的数为−20+5t，点Q表示的数为4t，点N表示的数为40−8t;点N到达点O之后，点P表示的数为−20+5t，点Q表示的数为4t，点N表示的数为8t−40.又Q,N两点间的距离为10,所以分以下四种情况讨论:①Q,N两点相遇之前，如图①.所以40−8t-4t=10,解得t=5/2.此时点P表示的数为−20+5×5/2=−15/2;②Q,N两点相遇后，点N到达点O之前，如图②.所以4t-(40−8t)=10,解得t=25/6.此时点P表示的数为−20+5×25/6=5/6;③点N到达点O之后,且未追上点Q,如图③.所以4t-(8t−40)=10,解得t=15/2.此时点P表示的数为−20+5×15/2=35/2;④点N到达点O之后并超过点Q.所以8t−40−4t=10,解得t=25/2(舍去).综上，当Q,N两点间的距离为10时，点P表示的数为−15/2或5/6或35/2
(3)尝试借助上面数学问题的解题经验,建立数轴完成下面实际问题:
码头C位于A,B两码头之间,码头A与B,C两码头间的距离分别表示为AB,AC,且$AB= 60n mile,AC= 20n mile$,甲船从码头A顺流驶向码头B,乙船从码头C顺流驶向码头B,丙船从码头B先开往码头C,到达后立即调头返回码头B.已知甲船在静水中的航速为$5n mile/h$,乙船在静水中的航速为$4n mile/h$,丙船在静水中的航速为$8n mile/h$,水流速度为$2n mile/h$,三船同时出发,每艘船都行驶到码头B停止.
在整个运动过程中,是否存在某一时刻,这三艘船中的一艘船恰好在另外两艘船之间,且到另外两船的距离相等?若存在,请求出此时甲船离码头B的距离;若不存在,请说明理由.
存在.设航行的时间为xh.建立数轴如图④所示，点A表示的数为−20，点C表示的数为0，点B表示的数为40.由题意，得甲船到码头C的时间为20/7 h,到码头B的时间为60/7 h;乙船到码头B的时间为20/3 h;丙船到码头C的时间为20/3 h,回到码头B的时间为32/3 h;甲、丙两船相遇的时间为60/13 h;乙、丙两船相遇的时间为10/3 h,且乙船到达码头B之前，甲船都追不上乙船.同(2)，可分为以下4种情况讨论:①丙船到达码头C之前，甲船表示的数为−20+7x，乙船表示的数为6x，丙船表示的数为40−6x.乙、丙两船相遇前，乙船在甲、丙两船之间，则6x−(−20+7x)=40−6x−6x,解得x=20/11.此时甲船离码头B的距离为40−(−20+7×20/11)=520/11(n mile);②甲、丙两船相遇前,,丙船在甲,乙两船之间，则40−6x−(−20+7x)=6x−(40−6x),解得x=4.此时甲船离码头B 的距离为40−(−20+7×4)=32(n mile);③甲,丙两船相遇后，丙船到达码头C之前,甲船在乙、丙两船之间，则6x−(−20+7x)=−20+7x−(40−6x),解得x=40/7.此时甲船离码头B 的距离为40−(−20+7×40/7)=20(n mile);④丙船到达码头C之后，到达码头B之前，甲船在乙、丙两船之间，此时甲船表示的数为−20+7x，乙船表示的数为40，丙船表示的数为10(x−20/3),则40−(−20+7x)=−20+7x−10(x−20/3),解得x=10/3(舍去).综上 在整个运动过程中分别在20/11 h ,4 h ,40/7 h 时，这三艘船中的一艘船恰好在另外两艘船之间，且到另外两船的距离相等，此时甲船离码头B的距离分别为520/11 n mile,32 n mile,20 n mile

答案：
(1)−20+5t 4t 40−8t;
(2)由题意，得Q,N两点相遇的时间为10/3 s,点Q到点B的时间为10 s;点N到点O 的时间为5 s,点N回到点B的时间为10 s;点N到达点O之前，点P表示的数为−20+5t，点Q表示的数为4t，点N表示的数为40−8t;点N到达点O之后，点P表示的数为−20+5t，点Q表示的数为4t，点N表示的数为8t−40.又Q,N两点间的距离为10,所以分以下四种情况讨论:①Q,N两点相遇之前，如图①.所以40−8t-4t=10,解得t=5/2.此时点P表示的数为−20+5×5/2=−15/2;②Q,N两点相遇后，点N到达点O之前，如图②.所以4t-(40−8t)=10,解得t=25/6.此时点P表示的数为−20+5×25/6=5/6;③点N到达点O之后,且未追上点Q,如图③.所以4t-(8t−40)=10,解得t=15/2.此时点P表示的数为−20+5×15/2=35/2;④点N到达点O之后并超过点Q.所以8t−40−4t=10,解得t=25/2(舍去).综上，当Q,N两点间的距离为10时，点P表示的数为−15/2或5/6或35/2;
(3)存在.设航行的时间为xh.建立数轴如图④所示，点A表示的数为−20，点C表示的数为0，点B表示的数为40.由题意，得甲船到码头C的时间为20/7 h,到码头B的时间为60/7 h;乙船到码头B的时间为20/3 h;丙船到码头C的时间为20/3 h,回到码头B的时间为32/3 h;甲、丙两船相遇的时间为60/13 h;乙、丙两船相遇的时间为10/3 h,且乙船到达码头B之前，甲船都追不上乙船.同
(2)，可分为以下4种情况讨论:①丙船到达码头C之前，甲船表示的数为−20+7x，乙船表示的数为6x，丙船表示的数为40−6x.乙、丙两船相遇前，乙船在甲、丙两船之间，则6x−(−20+7x)=40−6x−6x,解得x=20/11.此时甲船离码头B的距离为40−(−20+7×20/11)=520/11(n mile);②甲、丙两船相遇前,丙船在甲,乙两船之间，则40−6x−(−20+7x)=6x−(40−6x),解得x=4.此时甲船离码头B的距离为40−(−20+7×4)=32(n mile);③甲、丙两船相遇后，丙船到达码头C之前，甲船在乙、丙两船之间，则6x−(−20+7x)=−20+7x−(40−6x),解得x=40/7.此时甲船离码头B的距离为40−(−20+7×40/7)=20(n mile);④丙船到达码头C之后，到达码头B之前，甲船在乙、丙两船之间，此时甲船表示的数为−20+7x，乙船表示的数为40，丙船表示的数为10(x−20/3),则40−(−20+7x)=−20+7x−10(x−20/3),解得x=10/3(舍去).综上，在整个运动过程中，分别在20/11 h,4 h,40/7 h时，这三艘船中的一艘船恰好在另外两艘船之间，且到另外两船的距离相等，此时甲船离码头B的距离分别为520/11 n mile,32 n mile,20 n mile.