《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (10 分)新趋势 推导探究 【阅读】
如图①是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体.经过查阅资料,得知该几何体的名称叫作三棱台.如图②,所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一个小的棱锥后得到的几何体.

【探究】
(1) 如图③,用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥,请画出截得的四棱台的平面直观图(注意：看得见的棱画成实线,看不见的棱画成虚线)；
(2) 观察三棱台、四棱台、五棱台的面数$(F)$、棱数$(E)和顶点数(V)$,分别填入下表中：
| | 三棱台 | 四棱台 | 五棱台 | … |
| 面数$(F)$ | | | | … |
| 棱数$(E)$ | | | | … |
| 顶点数$(V)$ | | | | … |
① 小茗通过观察、猜想、验证,发现所有的棱台都满足等式：$F + E - 2V = 2$,你认为她的结论正确吗? 如果正确,请说明理由；如果不正确,请举出反例；
② 请你写一条关于$F$,$E$,$V$三个量的等式,使其满足棱锥,但是不满足棱台,并说明理由.

答案：

(1)如图所示:
(2)表格如下:| | 三棱台 | 四棱台 | 五棱台 | … |
| 面数$(F)$ | 5 | 6 | 7 | … |
| 棱数$(E)$ | 9 | 12 | 15 | … |
| 顶点数$(V)$ | 6 | 8 | 10 | … |
① 正确.理由如下:对于 n 棱台(n 为大于 2 的整数),面数 F=n+2,棱数 E=3n,顶点数 V=2n,且 n+2+3n - 2×2n=2,所以 F+E - 2V=2.② 答案不唯一,如:F+E - 3V=-2.理由如下:对于 n 棱锥(n 为大于 2 的整数),面数 F=n+1,棱数 E=2n,顶点数 V=n+1,且 n+1+2n - 3(n+1)=-2,所以 F+E - 3V=-2.由
(2)①,得对于 n 棱台,F=n+2,E=3n,V=2n,则 F+E - 3V=n+2+3n - 3×2n=2 - 2n≠-2.综上,满足题意的等式为 F+E - 3V=-2.