《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (6分)已知D是∠ABC内部一点,E为射线BC上一点,连接AE,DE,CD.
(1) 如图①,∠AED = ∠BAE + ∠CDE.
①判断线段AB与CD之间的位置关系,并说明理由,
②过点D作DM//AE交射线BC于点M,试说明:∠CDM = ∠BAE;
(2) 如图②,∠AED = ∠BAE - ∠CDE,若M为平面内一动点,MA//ED,求∠MAB与∠CDE之间的数量关系.

答案：

(1)①AB//CD.理由如下:分别延长AE,DC交于点F,则∠AED+∠DEF=180°.又∠DEF+∠CDE+∠F=180°,所以∠AED=∠CDE+∠F.又∠AED=∠BAE+∠CDE,所以∠F=∠BAE,即AB//CD.
　　②因为DM//AE,所以∠AED=∠MDE.因为∠AED=∠BAE+∠CDE,∠MDE=∠CDM+∠CDE,所以∠CDM=∠BAE.
(2)①当点M在直线AB的右侧时,如图①.因为MA//DE,所以∠MAE=∠AED.又∠AED=∠BAE−∠CDE,所以∠MAE=∠BAE−∠CDE.又∠MAE=∠BAE−∠MAB,所以∠MAB=∠CDE;②当点M在直线AB的左侧时，如图②.同理，得∠BAN=∠CDE.因为∠BAN+∠MAB=180°,所以∠MAB+∠CDE=180°.综上，∠MAB与∠CDE之间的数量关系为∠MAB=∠CDE或∠MAB+∠CDE=180°. 　 　

24. (6分)已知点O在直线l上,点A在点O的右侧,记OA = a.如果将OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0 ＜ n ≤ 360)得到OA',那么点A'的位置可以用(a,n°)表示.如图,点A'的位置用(4,30°)表示.
(1) 若B为OA'的中点,则点B的位置用____表示;
(2) 请利用直尺和圆规在图中画出点C(4,60°)(不写画法,保留画图痕迹);
(3) 若OD = 1,且OD⊥OA',求点D的位置表示;
(4) 若E是直线l上异于O,A两点的某一点,且在O,A,E三点中,其中一点到另外两点的距离相等,求点E的位置表示.

答案：

(1)(2,30°)　解析:因为点A'的位置用(4,30°)表示,所以OA'=4,∠AOA'=30°.又B为OA'的中点，所以OB=$\frac{1}{2}$OA'=2,∠AOB=30°,即点B的位置用(2,30°)表示.
(2)如图所示:
　　　　　
(3)因为OD⊥OA',所以∠A'OD=90°.由
(1),得∠AOA'=30°,当OD在直线L上方时,∠AOD=∠AOA'+∠A'OD=120°;当OD在直线L下方时,∠AOD=∠A'OD−∠AOA'=60°.所以∠AOD=120°或60°,即射线OA旋转的角度为120°或300°.又OD=1,所以点D的位置用(1,120°)或(1，300°)表示.
(4)由题意，得OA=4.分类讨论如下:当点O到A,E两点的距离相等时,OE=OA,则OE=4.所以点E的位置用(4,180°)表示;当点A到O,E两点的距离相等时,OE=2OA,则OE=8.所以点E的位置用(8，360°)表示;当点E到O,A两点的距离相等时,OA=2OE,则OE=2.所以点E的位置用(2,360°)表示.综上，点E的位置表示为(4,180°)或(8,360°)或(2,360°).

25. (8分)探究:如图①是一块长6 cm、宽4 cm的长方形纸板,现要求以其一组对边中点(线段上一点把这条线段分成长度相等的两条线段,该点即为这条线段的中点)所在直线为轴,旋转180°,得到一个圆柱,现按照下面两种方案进行操作:
方案一:以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图②;
方案二:以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图③.
(1) 请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大;
(2) 如果该长方形纸板的长、宽分别是5 cm和3 cm呢? 请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大;
(3) 通过以上探究,你发现对于同一个长方形(不包括正方形),以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱,怎样操作所得到的圆柱体积大(不必说明原因)?

答案：
(1)方案一:由题意，得构造的圆柱的体积为π×(6÷2)²×4=36π(cm³);方案二:由题意，得构造的圆柱的体积为π×(4÷2)²×6=24π(cm³).又36π＞24π,所以方案一构造的圆柱的体积大.
(2)方案一:由题意，得构造的圆柱的体积为π×($\frac{5}{2}$)²×3=$\frac{75π}{4}$(cm³);方案二:由题意,得构造的圆柱的体积为π×($\frac{3}{2}$)²×5=$\frac{45π}{4}$(cm³).又$\frac{75π}{4}$＞$\frac{45π}{4}$，所以方案一构造的圆柱的体积大.
(3)由
(1)
(2),得以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大.