《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (6分)
【探究】(1)设$\overline {abc}$是一个三位数,若$a+b+c$可以被3整除,试说明:这个数可以被3整除.
解:$\overline {abc}= 100a+10b+c$
$=$(99a+9b)$+(a+b+c)$
$=3$(33a+3b)$+(a+b+c)$.
显然3(33a+3b)可以被3整除,因此,如果$a+b+c$可以被3整除,那么$\overline {abc}$可以被3整除.
【应用】(2)设$\overline {abcd}$是一个四位数,若$a+b+c+d$可以被9整除,试说明:这个数可以被9整除.
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$.因为$9(111a+11b+c)$可以被9整除,所以若$a+b+c+d$可以被9整除,则$\overline{abcd}$可以被9整除.

答案：
(1)99a+9b 33a+3b 3(33a+3b)
(2)abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d).因为9(111a+11b+c)可以被9整除,所以若a+b+c+d可以被9整除,则abcd可以被9整除.

24. (6分)观察以下一系列等式:
①$2^{2}-2^{1}= 4-2= 2^{1}$;
②$2^{3}-2^{2}= 8-4= 2^{2}$;
③$2^{4}-2^{3}= 16-8= 2^{3}$;
④______
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出等式④:$2^5 - 2^4 = 32 - 16 = 2^4$;
(2)请根据上面所发现的规律,用含字母$n(n$为正整数)的式子表示等式ⓝ:$2^{n+1} - 2^n = 2^n$（$n$为正整数）;
(3)请用上述规律计算:$2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{2025}$.
$2^{2026} - 2$

答案： 【解析】：
本题主要考察代数式的运算和规律识别。
(1) 通过观察前面的等式，可以发现每个等式都是形如 $2^{n+1} - 2^n = 2^n$ 的模式。
因此，等式④应该是 $2^5 - 2^4 = 32 - 16 = 2^4$。
(2) 对于含字母 $n$（$n$ 为正整数）的式子，
根据观察的规律，可以得出一般形式为 $2^{n+1} - 2^n = 2^n$。
(3) 对于计算 $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2025}$，
可以利用上面发现的规律进行裂项相消。
即：
$2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2025}$
$= (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + (2^4 - 2^3) + \ldots + (2^{2026} - 2^{2025})$
$= 2^{2026} - 2$
【答案】：
(1) $2^5 - 2^4 = 32 - 16 = 2^4$；
(2) $2^{n+1} - 2^n = 2^n$（$n$ 为正整数）；
(3) $2^{2026} - 2$。

25. (6分)新素养 应用意识 定义:$f(a,b)是关于a,b$的整式,如果$f(a,b)= f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称整式”.例如:如果$f(a,b)= a^{2}+a+b+b^{2}$,那么$f(b,a)= b^{2}+b+a+a^{2}$.显然$f(a,b)= f(b,a)$,所以此时$f(a,b)$是“对称整式”.
(1)判断$f(a,b)= a^{2}-2ab+b^{2}$是否是“对称整式”,并说明理由;
(2)请写出一个“对称整式”$f(a,b)$(不多于四项);
(3)如果$f_{1}(a,b)和f_{2}(a,b)$均为“对称整式”,那么$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$一定是“对称整式”吗? 如果一定是,请说明理由;如果不一定,请举例说明.

答案：
(1)解：是。理由如下：
$f(b,a)=b^{2}-2ba+a^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，
因为$f(a,b)=f(b,a)$，所以$f(a,b)$是“对称整式”。
(2)解：$f(a,b)=a+b$（答案不唯一）
(3)解：一定是。理由如下：
因为$f_{1}(a,b)$和$f_{2}(a,b)$均为“对称整式”，
所以$f_{1}(a,b)=f_{1}(b,a)$，$f_{2}(a,b)=f_{2}(b,a)$，
所以$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)=f_{1}(b,a)+f_{2}(b,a)$，
即$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$是“对称整式”。