《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

23. (6 分)如图,点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上,$ CO⊥AB $ 于点 $ O $,$ ∠2-∠1= 34^{\circ} $,$ OE $ 是 $ ∠AOD $ 的平分线,$ OF⊥OE $ 于点 $ O $.
(1) 求 $ ∠AOE $ 的度数;
(2) 找出图中与 $ ∠BOF $ 互补的角,并求 $ ∠BOF $ 补角的度数.

答案： （1）因为$CO\perp AB$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 90^{\circ}$，即$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．又$\angle2-\angle1 = 34^{\circ}$，所以$\angle2 = 62^{\circ}$，$\angle1 = 28^{\circ}$．所以$\angle AOD=\angle AOC+\angle1 = 118^{\circ}$．又$OE$是$\angle AOD$的平分线，所以$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOD = 59^{\circ}$．（2）因为$OF\perp OE$，所以$\angle EOF = 90^{\circ}$，即$\angle AOF+\angle AOE = 90^{\circ}$．由（1），得$\angle AOC = 90^{\circ}$，$\angle AOE = 59^{\circ}$，且$\angle AOE+\angle COE=\angle AOC$，所以$\angle AOF=\angle COE=90^{\circ}-\angle AOE = 31^{\circ}$．又$\angle AOF+\angle BOF = 180^{\circ}$，所以$\angle COE+\angle BOF = 180^{\circ}$．所以题图中与$\angle BOF$互补的角有$\angle AOF$和$\angle COE$，且$\angle BOF$补角的度数为$31^{\circ}$．

24. (6 分)新素养 应用意识 (2025·江苏镇江期末)已知直线 $ l $ 上有 $ A $,$ B $,$ C $ 三个点.若满足 $ BC= \frac{1}{2}AB $,则称 $ C $ 是点 $ A $ 关于点 $ B $ 的“半距点”.如图①,$ A $,$ B $,$ C $ 三点在直线 $ l $ 上,且 $ BC= \frac{1}{2}AB $,此时 $ C $ 就是点 $ A $ 关于点 $ B $ 的一个“半距点”.如图②,若 $ M $,$ N $,$ P $ 三点在同一条直线 $ m $ 上,且 $ P $ 是点 $ M $ 关于点 $ N $ 的“半距点”,$ MN= 6cm $.
(1) $ MP= $______$ cm $;
(2) 若 $ G $ 也是直线 $ m $ 上一点,且 $ G $ 是线段 $ MP $ 的中点,求线段 $ GN $ 的长.

(1) $ MP= $3 或 9$ cm $;
(2) 由（1），得$MP = 3 cm$或$9 cm$．因为$G$是线段$MP$的中点，所以$MG=\frac{1}{2}MP$．当$MP = 3 cm$时，$MG = 1.5 cm$．所以$GN=MN - MG = 4.5 cm$；当$MP = 9 cm$时，$MG=\frac{1}{2}MP = 4.5 cm$．所以$GN=MN - MG = 1.5 cm$．综上，线段$GN$的长为$1.5 cm$或$4.5 cm$．

答案： （1）3 或 9　解析:由题意，得$PN=\frac{1}{2}MN = 3 cm$．当点$P$在点$N$的左侧时，$MP=MN - PN = 3 cm$；当点$P$在点$N$的右侧时，$MP=MN + PN = 9 cm$．（2）由（1），得$MP = 3 cm$或$9 cm$．因为$G$是线段$MP$的中点，所以$MG=\frac{1}{2}MP$．当$MP = 3 cm$时，$MG = 1.5 cm$．所以$GN=MN - MG = 4.5 cm$；当$MP = 9 cm$时，$MG=\frac{1}{2}MP = 4.5 cm$．所以$GN=MN - MG = 1.5 cm$．综上，线段$GN$的长为$1.5 cm$或$4.5 cm$．

25. (6 分)问题情境:已知 $ OC $ 平分 $ ∠AOB $,$ CD⊥OA $ 于点 $ D $,$ E $ 为 $ DC $ 延长线上一点,$ EF⊥OB $ 于点 $ F $,$ EG $ 平分 $ ∠DEF $ 交 $ OB $ 于点 $ G $,$ ∠DEF+∠AOB= 180^{\circ} $.
问题发现:
(1) 如图①,当 $ ∠AOB= 90^{\circ} $ 时,$ ∠1+∠2= $90$ ^{\circ} $;
(2) 如图②,当 $ ∠AOB $ 为锐角时,$ ∠1 $ 与 $ ∠2 $ 之间有什么数量关系? 请说明理由;
拓展探究:
(3) 在(2)的条件下,试探究 $ OC $ 和 $ GE $ 之间的位置关系,并说明理由.

（2）$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．理由如下:因为$OC$平分$\angle AOB$，$EG$平分$\angle DEF$，所以$\angle1=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle2=\frac{1}{2}\angle DEF$，即$\angle1+\angle2=\frac{1}{2}(\angle AOB+\angle DEF)$．因为$\angle AOB+\angle DEF = 180^{\circ}$，所以$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．（3）$OC// GE$．理由如下:因为$EF\perp OB$于点$F$，所以$\angle EFG = 90^{\circ}$．又$\angle EFG+\angle2+\angle EGF = 180^{\circ}$，所以$\angle2+\angle EGF = 180^{\circ}-\angle EFG = 90^{\circ}$．由（2），得$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，所以$\angle1=\angle EGF$，即$OC// GE$．

答案： （1）90　解析:因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle DEF+\angle AOB = 180^{\circ}$，所以$\angle DEF = 90^{\circ}$．又$OC$平分$\angle AOB$，$EG$平分$\angle DEF$，所以$\angle1=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$，$\angle2=\frac{1}{2}\angle DEF = 45^{\circ}$，即$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．（2）$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．理由如下:因为$OC$平分$\angle AOB$，$EG$平分$\angle DEF$，所以$\angle1=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle2=\frac{1}{2}\angle DEF$，即$\angle1+\angle2=\frac{1}{2}(\angle AOB+\angle DEF)$．因为$\angle AOB+\angle DEF = 180^{\circ}$，所以$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$．（3）$OC// GE$．理由如下:因为$EF\perp OB$于点$F$，所以$\angle EFG = 90^{\circ}$．又$\angle EFG+\angle2+\angle EGF = 180^{\circ}$，所以$\angle2+\angle EGF = 180^{\circ}-\angle EFG = 90^{\circ}$．由（2），得$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，所以$\angle1=\angle EGF$，即$OC// GE$．