《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (10分)(2025·江苏常州模拟)某商店有甲、乙两种商品,基本信息如下表:
|商品|成本/(元/件)|数量/件|售价/(元/件)|
|甲商品|$m$|30|$a$|
|乙商品|$n$|40|$b$|
(1) 若商家决定将甲商品按成本价提高40%后标价出售,乙商品按成本价的7折出售,则$a=$1.4m(用含$m$的代数式表示),$b=$0.7n(用含$n$的代数式表示);
(2) 在(1)的条件下,将甲、乙两种商品全部售出,则用含$m,n$的代数式表示该商家获得的利润;
总利润为(12m - 12n)元
(3) 若商家将这两种商品都以$(\frac{m + n}{2})$元/件的平均价格一次打包全部出售,请判断该商家这次买卖是赚钱还是亏本.
当$m＞n$时，商家赚钱；当$m=n$时，商家不赔不赚；当$m＜n$时，商家亏本。

答案： 【解析】：
本题主要考查了代数式的建立和利润的计算。
(1) 若商家决定将甲商品按成本价提高$40\%$后标价出售，那么甲商品的售价$a$就是成本价$m$的$140%$，即$a = 1.4m$。
乙商品按成本价的7折出售，即售价$b$是成本价$n$的$70\%$，所以$b = 0.7n$。
(2) 在
(1)的条件下，甲商品的利润是售价减去成本价，即$1.4m - m = 0.4m$，乙商品的利润是$0.7n - n = -0.3n$（注意这里是亏损）。
所以，总利润是甲商品的利润乘以数量加上乙商品的利润乘以数量，即$30 × 0.4m + 40 × (-0.3n) = 12m - 12n$。
(3) 若商家将这两种商品都以$\frac{m + n}{2}$元/件的平均价格一次打包全部出售，
那么总收入是$(30 + 40) × \frac{m + n}{2} = 35(m + n)$。
总成本是$30m + 40n$。
所以，总利润是$35(m + n) - (30m + 40n) = 5(m - n)$。
当$m ＞ n$时，商家赚钱；
当$m = n$时，商家不赔不赚；
当$m ＜ n$时，商家亏本。
【答案】：
(1) $a = 1.4m$；$b = 0.7n$
(2) 总利润为$(12m - 12n)$元
(3) 当$m ＞ n$时，商家赚钱；当$m = n$时，商家不赔不赚；当$m ＜ n$时，商家亏本。

16. (10分)(2025·江苏徐州期末)观察如图所示由※组成的图案和算式,解答下列问题:
$1 + 3 = 4 = 2^{2}$,
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$,
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$,
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$.

(1) 请猜想:$1 + 3 + 5 + 7 + 9+…+39= $400,$9^{2}= 81= $$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$(填代数式);
(2) 请猜想:$1 + 3 + 5 + 7 + 9+…+(2n - 1)+(2n + 1)= $$(n + 1)^{2}$($n$为正整数);
(3) 请用上述规律计算:$101 + 103 + 105+…+2023 + 2025$的值;
$101 + 103 + 105 + \cdots + 2023 + 2025=(1 + 3 + 5 + \cdots + 2025)-(1 + 3 + 5 + \cdots + 99)=\left(\frac{2025 + 1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{99 + 1}{2}\right)^{2}=1013^{2}-50^{2}=(1013 + 50)(1013 - 50)=1063×963=1023669$
(4) 请用上述规律计算:$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+…+2^{2}-1^{2}= $5050.

答案： 【解析】：
(1) 根据题目给出的算式，可以发现从1开始的连续奇数相加的和等于最大奇数与1的平均数的平方。
对于$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots + 39$，最大奇数是$39$，项数为$\frac{39 + 1}{2} = 20$，所以和为$20^{2} = 400$。
对于$9^{2} = 81$，因为$9$是首项加末项的一半（即$\frac{1 + 17}{2} = 9$，这里末项$17$是假设的，实际是通过规律反推），所以对应的代数式是$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$。
(2) 对于$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1)$，最大奇数是$2n + 1$，项数为$n + 1$，所以和为$(n + 1)^{2}$。
(3) $101 + 103 + 105 + \cdots + 2023 + 2025$
$= (1 + 3 + 5 + \cdots + 2025) - (1 + 3 + 5 + \cdots + 99)$
根据规律，$1 + 3 + 5 + \cdots + 2025$中，最大奇数是$2025$，项数为$\frac{2025 + 1}{2} = 1013$，和为$1013^{2}$；
$1 + 3 + 5 + \cdots + 99$中，最大奇数是$99$，项数为$\frac{99 + 1}{2} = 50$，和为$50^{2}$。
所以$101 + 103 + 105 + \cdots + 2023 + 2025 = 1013^{2} - 50^{2}$
根据平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，这里$a = 1013$，$b = 50$，则$1013^{2} - 50^{2} = (1013 + 50)(1013 - 50) = 1063×963 = 1023669$。
(4) $100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + \cdots + 2^{2} - 1^{2}$
根据平方差公式$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，则：
$100^{2} - 99^{2} = (100 + 99)(100 - 99) = 100 + 99$
$98^{2} - 97^{2} = (98 + 97)(98 - 97) = 98 + 97$
$\cdots$
$2^{2} - 1^{2} = (2 + 1)(2 - 1) = 2 + 1$
所以$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + \cdots + 2^{2} - 1^{2} = 100 + 99 + 98 + 97 + \cdots + 2 + 1$。
根据等差数列求和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（这里$n = 100$，$a_1 = 1$，$a_n = 100$），可得$100 + 99 + 98 + 97 + \cdots + 2 + 1 = \frac{100×(1 + 100)}{2} = 5050$。
【答案】：
(1) $400$；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$；
(2) $(n + 1)^{2}$；
(3) $1023669$；
(4) $5050$。

17. (12分)任取一个三位数$\overline{abc}$,百位上的数字记作$a$,十位上的数字记作$b$,个位上的数字记作$c$,且$a - c＞1$.对以上三位数进行如下操作:
第一步:交换$a和c$的位置,构成另一个数;
第二步:求这两个三位数的差$(\overline{abc}-\overline{cba})$;
第三步:交换这个差的首位和末位数字,又构成一个新的数;
第四步:将第二步所得的数与第三步所得的数加在一起记作$A$.
现在,利用你所学习的知识,探究$A$的值(写出探究的过程,并得出结果).

答案： 解：由题意得，三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$，交换$a$和$c$位置后得到$\overline{cba}=100c + 10b + a$。
第二步：计算两数差，$\overline{abc}-\overline{cba}=(100a + 10b + c)-(100c + 10b + a)=99a - 99c=99(a - c)$。
设$a - c = k$（$k$为整数且$k＞1$），则差为$99k$。因为$a$、$c$为一位数且$a - c＞1$，所以$k$可取$2$到$8$（$a$最大为$9$，$c$最小为$0$，$k=9$时$c=0$，差为$891$；$k=2$时差为$198$等）。
第三步：交换差的首位和末位数字。以$99k$为例，当$k=2$时，差为$198$，交换后为$891$；$k=3$时，差为$297$，交换后为$792$；$k=4$时，差为$396$，交换后为$693$；$k=5$时，差为$495$，交换后为$594$；$k=6$时，差为$594$，交换后为$495$；$k=7$时，差为$693$，交换后为$396$；$k=8$时，差为$792$，交换后为$297$；$k=9$时，差为$891$，交换后为$198$。
第四步：将第二步和第三步的数相加。如$k=2$时，$198 + 891 = 1089$；$k=3$时，$297 + 792 = 1089$；$k=4$时，$396 + 693 = 1089$；$k=5$时，$495 + 594 = 1089$；其他$k$值结果均为$1089$。
综上，无论$k$取何值，$A = 1089$。
结论：$A$的值为$1089$。