《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

25. (6 分)小亮房间窗户的窗帘如图①所示,它是由两个四分之一圆组成的(半径相同).
(1)用代数式表示该窗户能射进阳光的面积是ab-$\frac{1}{8}$πb²(结果保留 π);
(2)当$a= \frac {3}{4},b= 1$时,求该窗户能射进阳光的面积是多少(取$π\approx 3$);$\frac{3}{8}$
(3)小亮又设计了如图②所示的新窗帘(由一个半圆和两个四分之一圆组成,半径相同),请你帮他算一算,此时窗户能射进阳光的面积是否更大? 如果更大,那么大多少(结果保留 π)?使用新设计的窗帘后，窗户能射进阳光的面积更大，大$\frac{1}{16}$πb²

答案： （1）ab-$\frac{1}{8}$πb² 解析:因为窗户的面积为ab,窗帘的面积为2×$\frac{1}{4}$π($\frac{b}{2}$)²=$\frac{1}{8}$πb²,所以该窗户能射进阳光的面积为ab-$\frac{1}{8}$πb²;（2）由（1）,得该窗户能射进阳光的面积为ab-$\frac{1}{8}$πb²,且a=$\frac{3}{4}$,b=1,所以该窗户能射进阳光的面积约为$\frac{3}{4}×1-\frac{1}{8}×3×1^{2}=\frac{3}{8}$;（3）使用新设计的窗帘后,窗户能射进阳光的值更大.因为窗户的面积为ab,新窗帘的面积为π($\frac{b}{4}$)²=$\frac{1}{16}$πb²,所以装新窗帘的窗户能射进阳光的面积为ab-$\frac{1}{16}$πb².由（1）,得题图①窗户能射进阳光的面积为ab-$\frac{1}{8}$πb²,且(ab-$\frac{1}{16}$πb²)-(ab-$\frac{1}{8}$πb²)=ab-$\frac{1}{16}$πb²-ab+$\frac{1}{8}$πb²=$\frac{1}{16}$πb²＞0,所以使用新设计的窗帘后,窗户能射进阳光的面积更大,且比原来大$\frac{1}{16}$πb²

26. (6 分)定义:若一个多项式的各项系数之和为 7 的整数倍,则称这个多项式为“青一多项式”,称这个多项式的各项系数之和为“青一和”. 例如:多项式$20x+8y的各项系数之和为20+8= 28= 7×4$,所以多项式$20x+8y$是“青一多项式”,它的“青一和”为 28. 请根据这个定义,解答下列问题:
(1)在下列多项式中,属于“青一多项式”的是①③(填序号);
①$2x^{2}-9x$;②$3a+5b$;③$19x^{2}-4x+2y-3$.
(2)若关于 x 的“青一多项式”$abx^{2}-3bx$的“青一和”为 7,且 a,b 均为正整数,求$a+b$的值;
因为关于x的“青一多项式”ab$x^{2}$-3bx的“青一和”为7,所以ab-3b=7,即b(a-3)=7.因为a,b均为正整数,所以a-3也为正整数.又7=1×7,所以b=1或b=7.当b=1时,a-3=7,解得a=10.则a+b=11;当b=7时,a-3=1,解得a=4.则a+b=11.综上,a+b的值为11
(3)若多项式$4mx-ny$是关于 x,y 的“青一多项式”(其中 m,n 均为整数),则多项式$2mx+3ny$也是关于 x,y 的“青一多项式”吗? 若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
是.理由如下:因为多项式4mx-ny是关于x,y的“青一多项式”,所以4m-n=7k(k为整数),即n=4m-7k.所以2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k).又m为整数,所以2m-3k为整数.则2m+3n是7的整数倍.所以多项式2mx+3ny也是关于x,y的“青一多项式”

答案： （1）①③ 解析:因为2+(-9)=-7=7×(-1),所以2$x^{2}$-9x属于“青一多项式”.因为3+5=8≠7k(k为整数),所以3a+5b不属于“青一多项式”.因为19+(-4)+2+(-3)=14=7×2,所以19$x^{2}$-4x+2y-3属于“青一多项式”.综上,属于“青一多项式”的是①③;（2）因为关于x的“青一多项式”ab$x^{2}$-3bx的“青一和”为7,所以ab-3b=7,即b(a-3)=7.因为a,b均为正整数,所以a-3也为正整数.又7=1×7,所以b=1或b=7.当b=1时,a-3=7,解得a=10.则a+b=11;当b=7时,a-3=1,解得a=4.则a+b=11.综上,a+b的值为11;（3）是.理由如下:因为多项式4mx-ny是关于x,y的“青一多项式”,所以4m-n=7k(k为整数),即n=4m-7k.所以2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k).又m为整数,所以2m-3k为整数.则2m+3n是7的整数倍.所以多项式2mx+3ny也是关于x,y的“青一多项式”