《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

9. 对于两个不相等的有理数 a,b,规定$max\{ a,b\}$表示 a,b 两数中较大的数. 例如:$max\{ 2,-3\} = 2$.则方程$max\{ x,-x\} = 2x+1$的解为$-\frac{1}{3}$.

答案： x=-$\frac{1}{3}$ 解析:分类讨论如下:当x≥-x,即x≥0时,max{x,-x}=x.因为max{x,-x}=2x+1,所以x=2x+1,解得x=-1,不符合题意,舍去;当x＜-x,即x＜0时,max{x,-x}=-x.因为max{x,-x}=2x+1,所以-x=2x+1,解得x=-$\frac{1}{3}$.综上,方程max{x,-x}=2x+1的解为x=-$\frac{1}{3}$.

10. 若$a:b:c= 3:4:5且a+b-c= 4$,则以 a,b,c 为三边长组成的三角形的周长为______24.

答案： 24 解析:因为a:b:c=3:4:5,所以设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0).将它们代入a+b-c=4中,得3k+4k-5k=4,解得k=2.所以a=6,b=8,c=10.所以以a,b,c为三边长的三角形的周长为6+8+10=24.

11. 新素养 运算能力 已知 m 是关于 x 的一元一次方程$3x-n= 1$的解,且$a= m-t,b= \frac {t}{2}-\frac {n}{6}$,则$a+2b$的值为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$ 解析:因为m是关于x的一元一次方程3x-n=1的解,所以3m-n=1,即m-$\frac{n}{3}$=$\frac{1}{3}$.因为a=m-t,b=$\frac{t}{2}$-$\frac{n}{6}$,所以a+2b=m-t+2($\frac{t}{2}$-$\frac{n}{6}$)=m-$\frac{n}{3}$=$\frac{1}{3}$.

12. 亮点原创 已知正整数 a,b,c,d 满足$a\lt b\lt c\lt d$,且$(b-a-1)(b+a)= (1-d+c)(d+c)$,则下列关于这个四元方程的说法正确的个数为______.
①$a= 1,b= 2,c= 3,d= 4$是该四元方程的一组解;
② 连续的四个正整数一定是该四元方程的解;
③ 若$a\lt b\lt c\lt d\lt 10$,则该四元方程有 21 组解;
④ 若$a+b+c+d= 8102$,则该四元方程有 2024 组解.
4

答案： 4 解析:因为(b-a-1)(b+a)=(1-d+c)(d+c),所以(b-a-1)(b+a)+(d-c-1)(d+c)=0.由题意,得a+b＞0,d+c＞0,b-a-1≥0,d-c-1≥0,所以b-a-1=0,d-c-1=0,即b=a+1,d=c+1.对于①,当a=1,b=2,c=3,d=4时,b=a+1,d=c+1,所以a=1,b=2,c=3,d=4是该四元方程的一组解.故①正确;对于②,令a=n,b=n+1,c=n+2,d=n+3,其中n为正整数,显然b=a+1,d=c+1,即连续的四个正整数一定是该四元方程的解.故②正确;对于③,因为a＜b＜c＜d＜10,且a,b,c,d均为正整数,所以1≤a≤6.所以当a=1时,c的值可以为3,4,5,6,7,8;当a=2时,c的值可以为4,5,6,7,8;当a=3时,c的值可以为5,6,7,8;当a=4时,c的值可以为6,7,8;当a=5时,c的值可以为7,8;当a=6时,c的值可以为8,即该四元方程共有6+5+4+3+2+1=21(组)解.故③正确;对于④,因为a+b+c+d=8102,且a=b-1,c=d-1,所以b-1+b+d-1+d=8102,即b+d=4052.所以当b最大时,b=d-2,即b=2025.又b≥2,所以2≤b≤2025,即共有2024组解.故④正确.综上,正确的个数为4.

13. (12 分)解方程:
(1)$2-x= 4-3x$;
(2)$7(2x+1)-10(2x+1)+8= 2x+1$;
(3)$x-\frac {x-2}{2}= 1+\frac {2x-1}{3}$;
(4)$\frac {0.3x-1}{0.02}-\frac {4x-8}{0.5}= 1$.

答案：
(1)x=1.
(2)x=$\frac{1}{2}$.
(3)x=2.
(4)x=5.

14. (8 分)已知关于 a,b 的整式$(ma^{2}+b^{2}+3a+1)-(2a^{2}-4nb^{2}+4b-2)$的化简结果中不含二次项,试判断$x= m+2n是不是方程\frac {3x-2}{5}= x-1$的解.

答案： 因为(ma²+b²+3a+1)-(2a²-4nb²+4b-2)=(m-2)a²+(1+4n)b²+3a-4b+3,且化简结果中不含二次项,所以m-2=0,1+4n=0,解得m=2,n=-$\frac{1}{4}$.所以m+2n=$\frac{3}{2}$.解方程$\frac{3x-2}{5}$=x-1,得x=$\frac{3}{2}$.所以x=m+2n,即x=$\frac{3}{2}$是该方程的解.

15. (10 分)已知关于 x 的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b= 0$为一元一次方程,且该方程的解与关于 x 的方程$\frac {2x+1}{3}= \frac {x-b}{2}+1$的解相同.
(1) 求 a,b 的值;
(2) 若关于 y 的方程$|m-1|y+n= a+1+2by$有无数个解,求 m,n 的值.

答案：
(1)因为方程(a-2)x^{|a|-1}+4b=0为一元一次方程,所以|a|-1=1,a-2≠0.所以a=-2.所以原方程化为-4x+4b=0,解得x=b.因为该方程的解与方程$\frac{2x+1}{3}$=$\frac{x-b}{2}$+1的解相同,所以$\frac{2b+1}{3}$=1,解得b=1.则a,b的值分别为-2,1.
(2)由
(1),得a=-2,b=1,所以关于y的方程|m-1|y+n=a+1+2by可化为|m-1|y+n=-2+1+2y,即(|m-1|-2)y=-n-1.因为该方程有无数个解,所以-n-1=0,|m-1|-2=0.所以n=-1,m=3或m=-1.