《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

11. 已知$m,n$均为正整数,若多项式$-5x^{2}y^{m^{2}+1}+xy^{4}-8y^{3}+2x + 7$是七次五项式,且单项式$10\pi x^{2n + 1}y^{m}$与该多项式的次数相同,则$m + n= $4.

答案： 解：因为多项式$-5x^{2}y^{m^{2}+1}+xy^{4}-8y^{3}+2x + 7$是七次五项式，所以各项中次数最高的项的次数为7。
多项式各项次数依次为：
$-5x^{2}y^{m^{2}+1}$的次数：$2 + m^{2} + 1 = m^{2} + 3$
$xy^{4}$的次数：$1 + 4 = 5$
$-8y^{3}$的次数：3
$2x$的次数：1
$7$的次数：0
所以$m^{2} + 3 = 7$，解得$m^{2}=4$，$m = \pm 2$。
因为$m$为正整数，所以$m = 2$。
又因为单项式$10\pi x^{2n + 1}y^{m}$与该多项式的次数相同，即次数为7，所以$2n + 1 + m = 7$。
将$m = 2$代入，得$2n + 1 + 2 = 7$，$2n = 4$，$n = 2$。
所以$m + n = 2 + 2 = 4$。
答案：4

12. 对于一个四位自然数$M$,若它的千位数字比个位数字多6,百位数字比十位数字多2,则称$M$为“天真数”.如:四位数7311,因为$7 - 1 = 6$,$3 - 1 = 2$,所以7311是“天真数”;四位数8421,因为$8 - 1\neq6$,所以8421不是“天真数”.则最小的“天真数”为______;一个“天真数”$M的千位数字为a$,百位数字为$b$,十位数字为$c$,个位数字为$d$,记$P(M)= 3(a + b)+c + d$,$Q(M)= a - 5$.若$\frac{P(M)}{Q(M)}$能被10整除,则满足条件的$M$的最大值为______.
6200；9313

答案： 解：最小的“天真数”：
千位数字最小为6（千位比个位多6，个位最小为0，6-0=6），个位为0；百位数字最小为2（百位比十位多2，十位最小为0，2-0=2），十位为0，故最小“天真数”为6200。
满足条件的M的最大值：
由题意得a=d+6，b=c+2，a、b、c、d为0-9的整数，a≥1，d=a-6≥0⇒a≥6，c=b-2≥0⇒b≥2。
P(M)=3(a+b)+c+d=3a+3b+(b-2)+(a-6)=4a+4b-8=4(a+b-2)，Q(M)=a-5。
$\frac{P(M)}{Q(M)}=\frac{4(a+b-2)}{a-5}$能被10整除，设$\frac{4(a+b-2)}{a-5}=10k$（k为整数），则$4(a+b-2)=10k(a-5)$，化简得$2(a+b-2)=5k(a-5)$，故a-5是2的倍数，a-5=2m（m为正整数），a=5+2m。
a最大为9（四位数千位最大为9），当a=9时，m=2，代入得2(9+b-2)=5k×4⇒2(b+7)=20k⇒b+7=10k⇒b=10k-7，b≤9，k=1时b=3，此时b=3，c=b-2=1，d=a-6=3，M=9313。
验证：P(M)=4×(9+3-2)=40，Q(M)=9-5=4，$\frac{40}{4}=10$能被10整除，符合条件。
答案：6200；9313。

13. (10分)
(1) 先化简,再求值:$(3a^{2}-ab + 7)-(5ab - 4a^{2}+7)$,其中$a = 2$,$b= \frac{1}{3}$;
(2) 已知$x + y = 6$,$xy = - 4$,求$(5x + 4y + 3xy)-(2x + y + 2xy)$的值;
(3) 已知多项式$2x^{2}+ax - y + 6减2bx^{2}-3x + 5y - 1的差与x$的取值无关,求多项式$\frac{1}{3}a^{3}-2b^{2}-(\frac{1}{4}a^{3}-3b^{2})$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的化简与求值，以及多项式与特定字母取值无关时求参数的值。
(1) 首先，我们需要对整式进行化简，然后代入给定的$a$和$b$的值进行计算。
(2) 我们需要先对整式进行化简，然后利用给定的$x+y$和$xy$的值进行计算。
(3) 我们需要先通过多项式与$x$取值无关的条件求出$a$和$b$，然后代入到另一个多项式中进行计算。
【答案】：
(1) 解：
原式
$= (3a^{2} - ab + 7) - (5ab - 4a^{2} + 7)$
$= 3a^{2} - ab + 7 - 5ab + 4a^{2} - 7$
$= 7a^{2} - 6ab$
当 $a = 2$，$b = \frac{1}{3}$ 时，
原式
$= 7 × 2^{2} - 6 × 2 × \frac{1}{3}$
$= 28 - 4$
$= 24$
(2) 解：
原式
$= (5x + 4y + 3xy) - (2x + y + 2xy)$
$= 5x + 4y + 3xy - 2x - y - 2xy$
$= 3x + 3y + xy$
$= 3(x + y) + xy$
当 $x + y = 6$，$xy = -4$ 时，
原式
$= 3 × 6 + (-4)$
$= 18 - 4$
$= 14$
(3) 解：
首先，我们将两个多项式相减：
$(2x^{2} + ax - y + 6) - (2bx^{2} - 3x + 5y - 1)$
$= 2x^{2} + ax - y + 6 - 2bx^{2} + 3x - 5y + 1$
$= (2 - 2b)x^{2} + (a + 3)x - 6y + 7$
由于差与$x$的取值无关，所以我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}2 - 2b = 0 \\a + 3 = 0\end{cases}$解得：
$\begin{cases}a = -3 \\b = 1\end{cases}$然后，我们将求得的$a$和$b$代入到多项式$\frac{1}{3}a^{3} - 2b^{2} - (\frac{1}{4}a^{3} - 3b^{2})$中：
$= \frac{1}{3}(-3)^{3} - 2(1)^{2} - (\frac{1}{4}(-3)^{3} - 3(1)^{2})$
$= -9 - 2 - (-\frac{27}{4} - 3)$
$= -11 + \frac{39}{4}$
$= - \frac{5}{4}$

14. (10分)已知$A = 2a^{2}+3ab - 2a - 1$,$B = a^{2}+ab - 1$.
(1) 若$(a + 2)^{2}+|b - 3| = 0$,求$4A-(3A - 2B)$的值;
(2) 当$a$取任意数时,$A - 2B$的值是一个定值,求$b$的值.

答案：
(1) 解：因为$(a + 2)^{2} + |b - 3| = 0$，所以$a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = -2$，$b = 3$。
$4A - (3A - 2B) = 4A - 3A + 2B = A + 2B$
$A + 2B = (2a^{2} + 3ab - 2a - 1) + 2(a^{2} + ab - 1)$
$= 2a^{2} + 3ab - 2a - 1 + 2a^{2} + 2ab - 2$
$= 4a^{2} + 5ab - 2a - 3$
当$a = -2$，$b = 3$时，原式$= 4×(-2)^{2} + 5×(-2)×3 - 2×(-2) - 3$
$= 4×4 - 30 + 4 - 3$
$= 16 - 30 + 4 - 3$
$= -13$
(2) 解：$A - 2B = (2a^{2} + 3ab - 2a - 1) - 2(a^{2} + ab - 1)$
$= 2a^{2} + 3ab - 2a - 1 - 2a^{2} - 2ab + 2$
$= (3ab - 2ab) - 2a + (-1 + 2)$
$= ab - 2a + 1$
$= (b - 2)a + 1$
因为当$a$取任意数时，$A - 2B$的值是一个定值，所以$b - 2 = 0$，解得$b = 2$