《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

27. (9分)有一个棱长为4 cm的正方体.
(1) 如图①,在上面的中心位置处,从上到下打通一个底面是边长为1 cm的正方形小孔,则打孔后的立体图形的表面积$ S_1 = $______$ \text{cm}^2 $;
(2) 如图②,按(1)中的要求打孔后,如果再在正面的中心位置处(图②中的虚线),从前到后打通一个底面是边长为1 cm的正方形小孔,则此时该立体图形的表面积$ S_2 = $______$ \text{cm}^2 $;
(3) 如果把(2)中从前到后打通的底面为正方形的小孔改成一个底面为长方形的小孔,长为$ x(1 ＜ x ＜ 4)\text{cm} $,宽为1 cm,那么能不能使所得立体图形的表面积为$ 130 \text{ cm}^2 $? 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.

答案：
27.
(1) 110 解析:由题意,得打孔后的立体图形的表面积 = 原正方体的表面积 - 2 个小正方形孔的面积 + 孔中 4 个长方形的面积,即$S_1 = 4×4×6 - 1×1×2 + 1×4×4 = 110$($cm^2$).
(2) 118 解析:由
(1),得$S_1 = 110$ $cm^2$,所以$S_2 = S_1 - 1×1×4 + (4 - 1)×1×4 = (110 - 4 + 12) = 118$($cm^2$).
(3) 能使所得立体图形的表面积为 130 $cm^2$.分类讨论如下:① 如图①,当长方形小孔的长与地面平行时,打孔后立体图形的表面积为$110 - 2x - 2×1×1 + 1×4×2 + 4×x×2 - 4 = (112 + 6x)$ $cm^2$,所以$112 + 6x = 130$,解得$x = 3$;② 如图②,当长方形小孔的长与地面垂直时,打孔后立体图形的表面积为$110 - 4x + 2×1×(4 - 1) + (4 - 1)×x×2 = (116 + 2x)$ $cm^2$,所以$116 + 2x = 130$,解得$x = 7$,不符合题意,舍去.综上,能使所得立体图形的表面积为 130 $cm^2$,此时 x 的值为 3.

28. (9分)将一个正方体表面全部涂上颜色,且把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为$ x_i $,解答下列问题:
(1) 如图,把正方体的每条棱三等分(平均分成三份),然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,那么$ x_3 = $8,$ x_2 = $12,$ x_1 = $6,$ x_0 = $1;
(2) 如果把正方体的每条棱四等分(平均分成四份),同样沿等分线把正方体切开,得到64个小正方体,那么$ x_3 = $8,$ x_2 = $24,$ x_1 = $24,$ x_0 = $8;
(3) 如果将这个正方体的每条棱n等分(平均分成n份,n是大于3的正整数),沿等分线把正方体切开,得到$ n^3 $个小正方体,且满足$ 2x_2 - x_3 = 208 $,求n的值.
由(1)(2),得$x_3 = 8$,$x_2 = 12(n - 2)$.因为$2x_2 - x_3 = 208$,所以$2×12(n - 2) - 8 = 208$,解得$n = 11$.则 n 的值为 11.

答案： 28.
(1) 8 12 6 1 解析:由题图,得仅有3 个面涂色的小正方体在原正方体的顶点处,共有 8 个,即$x_3 = 8$;仅有 2 个面涂色的小正方体在每条棱的中间处,共有 12 个,即$x_2 = 12$;仅有 1 个面涂色的小正方体在原正方体每个面的中心处,共有 6 个,即$x_1 = 6$;没有涂色的小正方体在原正方体的中心处,共有 1 个,即$x_0 = 1$.
(2) 8 24 24 8 解析:同
(1),得$x_3 = 8$,$x_2 = 24$,$x_1 = 24$,$x_0 = 8$.
(3) 由
(1)
(2),得$x_3 = 8$,$x_2 = 12(n - 2)$.因为$2x_2 - x_3 = 208$,所以$2×12(n - 2) - 8 = 208$,解得$n = 11$.则 n 的值为 11.