《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (8分)已知关于$x,y的多项式3x^{2}y^{2}-(a-3)y^{b+2}-\frac {1}{2}xy^{3}+(a-1)x^{|a|}y^{3}$.
(1)当$a= 1,b= -1$时,该多项式的次数为4,一次项为2y;
(2)当$b= 3$时,该多项式与单项式$\frac {2}{3}πx^{8-m}y^{m}$的次数相同,求该多项式;当$a = 5$时，多项式为$3x^{2}y^{2}-2y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}+4x^{5}y^{3}$；当$a=-5$时，多项式为$3x^{2}y^{2}+8y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}-6x^{5}y^{3}$
(3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式,例如:$2a^{3}+5ab^{2}-b^{3}+3abc$就是齐次多项式.若该多项式是齐次四项式,求$2a+b$的值;0
(4)若该多项式是一个六次三项式,求$a$的值.1或3

答案：
(1) 当$a = 1$，$b=-1$时，多项式为$3x^{2}y^{2}-(1 - 3)y^{-1+2}-\frac{1}{2}xy^{3}+(1 - 1)x^{|1|}y^{3}=3x^{2}y^{2}+2y-\frac{1}{2}xy^{3}$。各项次数：$3x^{2}y^{2}$为$4$次，$2y$为$1$次，$-\frac{1}{2}xy^{3}$为$4$次。所以该多项式的次数为$4$，一次项为$2y$。
(2) 当$b = 3$时，多项式为$3x^{2}y^{2}-(a - 3)y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}+(a - 1)x^{|a|}y^{3}$。各项次数：$3x^{2}y^{2}$（4次），$-(a - 3)y^{5}$（5次），$-\frac{1}{2}xy^{3}$（4次），$(a - 1)x^{|a|}y^{3}$（$|a| + 3$次）。单项式$\frac{2}{3}\pi x^{8 - m}y^{m}$的次数为$(8 - m)+m=8$。因为多项式与单项式次数相同，所以多项式最高次项次数为$8$，即$|a| + 3=8$，解得$|a|=5$，$a=\pm5$。当$a = 5$时，多项式为$3x^{2}y^{2}-2y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}+4x^{5}y^{3}$；当$a=-5$时，多项式为$3x^{2}y^{2}+8y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}-6x^{5}y^{3}$。
(3) 该多项式是齐次四项式，各项次数相同。各项次数：$3x^{2}y^{2}$（4次），$-(a - 3)y^{b + 2}$（$b + 2$次），$-\frac{1}{2}xy^{3}$（4次），$(a - 1)x^{|a|}y^{3}$（$|a| + 3$次）。所以$b + 2=4$，$|a| + 3=4$，且各项系数不为$0$（$a - 3\neq0$，$a - 1\neq0$）。由$b + 2=4$得$b = 2$；由$|a| + 3=4$得$|a|=1$，$a=\pm1$。又$a - 1\neq0$，所以$a=-1$。则$2a + b=2×(-1)+2=0$。
(4) 该多项式是六次三项式。原多项式有四项，要为三项式，需有一项系数为$0$。六次项可能为$-(a - 3)y^{b + 2}$（$b + 2=6$，$b = 4$）或$(a - 1)x^{|a|}y^{3}$（$|a| + 3=6$，$|a|=3$，$a=\pm3$）。
情况一：$(a - 1)=0$，$a = 1$，此时多项式为$3x^{2}y^{2}+2y^{b + 2}-\frac{1}{2}xy^{3}$，要为六次三项式，则$b + 2=6$，$b = 4$，符合，此时$a = 1$。
情况二：$a - 3=0$，$a = 3$，多项式为$3x^{2}y^{2}-\frac{1}{2}xy^{3}+2x^{3}y^{3}$，最高次项$2x^{3}y^{3}$为$6$次，是三项式，符合，此时$a = 3$。
情况三：$|a| + 3=6$，$a=\pm3$，$a = 3$已讨论，$a=-3$时，多项式为$3x^{2}y^{2}+6y^{b + 2}-\frac{1}{2}xy^{3}-4x^{3}y^{3}$，若为三项式，需$6y^{b + 2}$系数为$0$，但$a=-3$时$a - 3=-6\neq0$，不符合。综上，$a = 1$或$3$。
(1) $4$，$2y$
(2) 当$a = 5$时，$3x^{2}y^{2}-2y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}+4x^{5}y^{3}$；当$a=-5$时，$3x^{2}y^{2}+8y^{5}-\frac{1}{2}xy^{3}-6x^{5}y^{3}$
(3) $0$
(4) $1$或$3$

27. (8分)(2025·江苏淮安模拟)某体育用品商店出售的羽毛球拍和羽毛球的进价、售价如下表:
| | 进价 | 售价 |
| 羽毛球拍 | 100元/副 | $(100+a)$元/副 |
| 羽毛球 | 2元/只 | $(2+b)$元/只 |
某中学计划从该体育用品商店购买20副羽毛球拍和1050只羽毛球.
(1)该中学需花费多少元(结果用含$a,b$的代数式表示)?
$4100 + 20a + 1050b$
(2)“双十一”期间,该商店推出了两种不同的促销方案:
方案一:每购买一副羽毛球拍赠送20只羽毛球;
方案二:每购买150只羽毛球,赠送1副羽毛球拍.
① 若分别按方案一、方案二购买,则各需花费多少元(结果用含$a,b$的代数式表示)?
方案一$3300 + 20a + 650b$，方案二$3400 + 13a + 1050b$
② 若$a= 80,b= 1$,在两种方案可以同时使用的情况下,则该中学最少需花费______元.
5490

答案：
(1) 解：购买20副羽毛球拍花费：$20(100+a)$元
购买1050只羽毛球花费：$1050(2+b)$元
总花费：$20(100+a) + 1050(2+b) = 2000 + 20a + 2100 + 1050b = 4100 + 20a + 1050b$元
(2) ① 方案一：
赠送羽毛球：$20×20=400$只，需购买羽毛球：$1050-400=650$只
花费：$20(100+a) + 650(2+b) = 2000 + 20a + 1300 + 650b = 3300 + 20a + 650b$元
方案二：
赠送羽毛球拍：$1050÷150=7$副，需购买羽毛球拍：$20-7=13$副
花费：$13(100+a) + 1050(2+b) = 1300 + 13a + 2100 + 1050b = 3400 + 13a + 1050b$元
② 当$a=80,b=1$时，
方案一：$3300 + 20×80 + 650×1 = 3300 + 1600 + 650 = 5550$元
方案二：$3400 + 13×80 + 1050×1 = 3400 + 1040 + 1050 = 5490$元
混合方案（先按方案二买150×7=1050只羽毛球得7副球拍，再按方案一买13副球拍赠260只羽毛球，实际无需额外买球）：
花费：$13(100+80) = 13×180=2340$元（错误，修正）
正确混合方案：买150×7=1050只羽毛球赠7副球拍，再买13副球拍赠$13×20=260$只羽毛球（羽毛球足够）
总花费：$13×180 + 1050×3 = 2340 + 3150=5490$元（与方案二同）
最少花费：5490元
答案：
(1)$4100 + 20a + 1050b$；
(2)①方案一$3300 + 20a + 650b$，方案二$3400 + 13a + 1050b$；②5490