《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (10分)为节约水资源,某校环保宣传小组进行了一次调查,得到了如下的一组数据:某市人口大约900万人,每天早晨起来刷牙,如果大家都有一个坏习惯,刷牙时不关水龙头,那么每个人刷牙时约浪费75毫升的水.
(1)按这样计算,该市一天早晨仅这一项约浪费了多少升水?请用科学记数法表示;
(2)如果用500毫升的纯净水瓶来装浪费的水,那么可以装多少瓶?请用科学记数法表示.

答案： （1）由题意,得9000000×75÷1000=675000(升),且675000用科学记数法表示为6.75×10⁵,所以按这样计算,该市一天早晨仅这一项约浪费了6.75×10⁵升水.（2）由题意,得675000×1000÷500=1350000(瓶),且1350000用科学记数法表示为1.35×10⁶,所以如果用500毫升的纯净水瓶来装浪费的水,那么可以装1.35×10⁶瓶.

16. (12分)(2025·江苏南京期末)
【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时,不仅掌握了法则,同时也学会了分类思考.
【探索】
(1)若$ab= 6$,则$a+b$的值为正数或负数(填“正数”“负数”或“0”);
(2)若$a+b= -5$,且$a,b$都为整数,则$ab$的最大值为6;
【拓展】
(3)已知数轴上$A,B两点分别对应有理数a,b$,且$ab＜0$,试比较$a+b$与0的大小.
因为ab＜0，所以a，b异号。不妨设a＞0，b＜0。当|a|＞|b|时，a+b＞0；当|a|=|b|时，a+b=0；当|a|＜|b|时，a+b＜0。

答案： （1）正数或负数（2）6 解析:因为a+b=-5,所以a,b中至少有一个为负数.当a,b一正一负时,ab＜0;当a,b为0,-5时,ab=0;当a,b都为负数时,ab＞0.所以当ab取最大值时,a,b都为负数.又a,b都为整数,所以a,b等于-1,-4或-2,-3.所以当a=-2,b=-3或a=-3,b=-2时,ab取最大值,且最大值为-2×(-3)=6.（3）因为ab＜0,所以a,b异号.不妨设a＞0,b＜0.当|a|＞|b|时,a+b＞0;当|a|=|b|时,a+b=0;当|a|＜|b|时,a+b＜0.

17. (12分)新素养推理能力
(1)观察一列数:$a_{1}= 3,a_{2}= 3^{2},a_{3}= 3^{3},a_{4}= 3^{4}$……发现从第二项开始,每一项与相邻前一项之比是同一个常数,这个常数是3,根据此规律,如果$a_{n}$($n$为正整数)表示该列数的第$n$项,那么$a_{6}= $$3^{6}$,$a_{n}= $$3^{n}$(用幂的形式表示);
(2)如果想要求$1+2+2^{2}+2^{3}+... +2^{10}$的值,可令$S_{10}= 1+2+2^{2}+2^{3}+... +2^{10}$①,将①式两边同乘2,得$2S_{10}=2+2^{2}+2^{3}+... +2^{11}$②,由②式减去①式,得$S_{10}= $$2^{11}-1$;
(3)若(1)中的数列共有20项,设$S_{20}= 3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+... +3^{20}$,请利用上述规律和方法计算$S_{20}$的值.
方法一:因为$S_{20}=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+... +3^{20}$①,所以$3S_{20}=3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+... +3^{20}+3^{21}$②.由②式减去①式,得$2S_{20}=3^{21}-3$.则$S_{20}=\frac{3^{21}-3}{2}$.
方法二:因为$S_{20}=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+... +3^{20}$①,所以$\frac{S_{20}}{3}=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+... +3^{19}$②.由①式减去②式,得$\frac{2}{3}S_{20}=3^{20}-1$,则$S_{20}=\frac{3×(3^{20}-1)}{2}=\frac{3^{21}-3}{2}$.

答案： （1）3 3⁶ 3ⁿ（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹¹ 2¹¹-1（3）方法一:因为S₂₀=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰①,所以3S₂₀=3²+3³+3⁴+3⁵+…+3²⁰+3²¹②.由②式减去①式,得2S₂₀=3²¹-3.则S₂₀=$\frac{3^{21}-3}{2}$.方法二:因为S₂₀=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰①,所以$\frac{S_{20}}{3}$=1+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁹②.由①式减去②式,得$\frac{2}{3}$S₂₀=3²⁰-1,则S₂₀=$\frac{3×(3^{20}-1)}{2}$=$\frac{3^{21}-3}{2}$.