《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

28. (10分)新趋势综合实践如图①,点O在直线AB上,∠AOC = 30°,将一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在点O处,较长的直角边OM放在射线OB上,较短的直角边ON在直线AB的下方.
【操作一】将图①中的三角板绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转.当它旋转一周时停止,设旋转的时间为t秒.
(1) 图①中与∠BOC互补的角有∠AOC,∠OMN;
(2) 当t = 10或22时,ON⊥OC;
【操作二】如图②,将一把直尺的一端点也放在点O处,另一端点E在射线OC上.如图③,在三角板绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时,直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转,当一方完成旋转一周时停止,另一方也停止旋转,设旋转的时间为t秒.
(3) 当t为何值时,OC平分∠MOE?
由题意，得∠COE=(5t)°,∠MOC=∠BOC−∠BOM,∠BOM=(15t)°.因为∠BOC+∠AOC=180°,∠AOC=30°,所以∠BOC=180°−∠AOC=150°,即∠MOC=(150−15t)°.又OC平分∠MOE,所以∠MOC=∠COE,即150−15t=5t,解得t=$\frac{15}{2}$.所以当t为$\frac{15}{2}$时，OC平分∠MOE.
(4) 试探索:在三角板与直尺旋转的过程中,当0 ≤ t ≤ 22时,是否存在某个时刻,使得∠COM与∠AOE中的一个角是另一个角的两倍? 若存在,请直接写出所有满足题意的t的值;若不存在,请说明理由.
存在,t的值为$\frac{42}{5}$或$\frac{66}{7}$或$\frac{54}{5}$或18.

答案：
(1)∠AOC,∠OMN
(2)10或22　解析:当ON⊥OC时,∠CON=90°.由题意，得三角板旋转一周时,t=360÷15=24.所以t的取值范围为0≤t≤24.当边ON在直线AB的上方时，∠BON+∠CON+∠AOC=180°,因为∠AOC=30°,所以∠BON=180°−∠CON−∠AOC=60°,即三角板旋转的度数为60°+90°=150°.又三角板以每秒15°的速度旋转，所以t=150÷15=10;当边ON在直线AB的下方时，同理，得三角板旋转的度数为330°.又三角板以每秒15°的速度旋转，所以t=330÷15=22.综上,当t=10或22时,ON⊥OC.
(3)由题意，得∠COE=(5t)°,∠MOC=∠BOC−∠BOM,∠BOM=(15t)°.因为∠BOC+∠AOC=180°,∠AOC=30°,所以∠BOC=180°−∠AOC=150°,即∠MOC=(150−15t)°.又OC平分∠MOE,所以∠MOC=∠COE,即150−15t=5t,解得t=$\frac{15}{2}$.所以当t为$\frac{15}{2}$时，OC平分∠MOE.
(4)存在,t的值为$\frac{42}{5}$或$\frac{66}{7}$或$\frac{54}{5}$或18.