《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

7. 我们规定:对于数对$(a,b)$,如果满足$a-b= ab$,那么就称数对$(a,b)$是“差积等数对”.例如:$2-\frac {2}{3}= 2×\frac {2}{3}$,所以数对$(2,\frac {2}{3})$为“差积等数对”.若数对$(\frac {x-1}{2},-2)$是“差积等数对”,则 x 的值是$-\frac{1}{3}$.

答案： $-\frac{1}{3}$

8. 亮点原创·已知射线 OP 在$∠MON$的内部,若满足$∠PON+∠MON= 90^{\circ }$,则称射线 OP 为$∠PON与∠MON$的“互余线”.如图,直线 AB,CD 相交于点 O,射线 OE 为$∠BOE与∠BOC$的“互余线”.若$∠AOD= 64^{\circ }$,则$∠AOE$的度数为$154^{\circ}$.

答案： $154^{\circ}$

9. 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.一天 24 小时中,时针与分针重合(钟面角为$0^{\circ }$时)22次.

答案： 22 解析:设时针与分针相邻两次重合的时间间隔为 x 小时.因为时针每小时转动$30^{\circ}$,分针每小时转动$360^{\circ}$,所以$30x+360=360x$,解得$x=\frac{12}{11}$.又$24÷\frac{12}{11}=22$,所以一天24 小时中,时针与分针重合 22 次.

10. (2024·四川内江)一个四位数,如果它的千位与十位上的数字之和为 9,百位与个位上的数字之和也为 9,那么称该数为“极数”.若偶数 m 为“极数”,且$\frac {m}{33}$是完全平方数,则$m=$1188 或 4752.

答案： 1188 或 4752 解析:设四位数 m 个位上的数字为 x,十位上的数字为 y,$0\leqslant x\leqslant9,0\leqslant y\leqslant8$,x,y 均为整数.由题意,得$m=1000\cdot(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x)$,所以$\frac{m}{33}=3(100-10y-x)$.因为 m 为四位数,所以$1000\leqslant99(100-10y-x)＜10000$,即$30\frac{10}{33}\leqslant3(100-10y-x)＜303\frac{1}{33}$.又$\frac{m}{33}$是完全平方数,所以$3(100-10y-x)$既是 3 的倍数,又是完全平方数,所以$3(100-10y-x)$的值为 36 或 81 或 144 或 225,即$\frac{m}{33}$的值为 36 或 81 或 144 或 225.所以 m=1188 或 2673 或 4752 或7425.又 m 为偶数,所以 m 的值为 1188 或4752.

11. (16 分)对于任意四个有理数 a,b,c,d,可以组成两个有理数对$(a,b)与(c,d)$.规定:$(a,b)*(c,d)= ad-bc$.如:$(1,2)*(3,4)= 1×4-2×3= -2$.根据上述规定解答下列问题:
(1) 求$(5,-4)*(3,2)$的值;
(2) 若$(3,\frac {1}{2}x+1)*(2,2x-1)= 15$,求 x 的值;
(3) 若$(k,x+1)*(3,2x-1)$的值与 x 的取值无关,求 k 的值.

答案：
(1)原式$=5×2-(-4)×3=10+12=22$.
(2)因为$(3,\frac{1}{2}x+1)*(2,2x-1)=15$,所以$3(2x-1)-2(\frac{1}{2}x+1)=15$,即$6x-3-x-2=15$,解得$x=4$.则 x 的值为 4.
(3)原式$=k(2x-1)-3(x+1)=2kx-k-3x-3=(2k-3)x-k-3$.因为$(k,x+1)*(3,2x-1)$的值与 x 的取值无关,所以$2k-3=0$,解得$k=\frac{3}{2}$.则 k 的值为$\frac{3}{2}$.

12. (16 分)定义:n(n 为正整数)个关于 x 的一次整式$A_{1},A_{2},...,A_{n}$,存在不等于零的数$k_{1},k_{2},...,k_{n}$,使$k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+... +k_{n}A_{n}= a$,其中 a 是常数,我们称这 n 个一次整式为常数 a 的“相关整式”.例如:对于一次整式$x-4,-3x+8,-x-1$,存在$k_{1}= 1,k_{2}= -1,k_{3}= 4$,使$(x-4)-(-3x+8)+4(-x-1)= -16$,我们就称一次整式$x-4,-3x+8,-x-1$为常数-16 的“相关整式”.
【数学理解】
(1) 若整式$A_{1}= x,A_{2}= 3x+1,A_{3}= x+4$为常数 a 的“相关整式”,其中$k_{1}= k_{2}= 1$,则常数$a=$-15,$k_{3}=$-4;
(2) 若整式$A_{1}= px+q,A_{2}= x+1,A_{3}= -\frac {2}{3}x+\frac {1}{3}$为常数 2 的“相关整式”,其中$k_{1}= 1,k_{2}= -1,k_{3}= 3$,求 p,q 的值;
【尝试探究】
(3) 若整式$A_{1}= m_{1}x+n_{1},A_{2}= m_{2}x+n_{2}$为常数 0 的“相关整式”,则等式①$m_{1}n_{1}= m_{2}n_{2}$;②$m_{1}n_{2}= m_{2}n_{1}$中有一个成立.判断哪一个成立,并说明理由;
(4) 若整式$A_{1}= x+3,A_{2}= 2x+6,A_{3}= mx+7$为常数 0 的“相关整式”,直接写出 m 的值.
$\frac{7}{3}$

答案：
(1)-15 -4 解析:由题意,得$x+(3x+1)+k_{3}(x+4)=a$,所以$(4+k_{3})x+1+4k_{3}=a$.又 a,$k_{3}$均为常数,所以$4+k_{3}=0$,即$k_{3}=-4$.所以$a=-15$.
(2)由题意,得$k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}=2$.又$k_{1}=1,k_{2}=-1,k_{3}=3,A_{1}=px+q,A_{2}=x+1,A_{3}=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$,所以$px+q-(x+1)+3(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=2$,即$(p-3)x+q-2=0$.所以$p-3=0,q-2=0$,解得$p=3$,$q=2$.则 p,q 的值分别为 3,2.
(3)等式②成立.理由如下:由题意,得存在不为零的数$k_{1},k_{2}$,使得$k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}=0$.又$A_{1}=m_{1}x+n_{1},A_{2}=m_{2}x+n_{2}$,所以$k_{1}\cdot(m_{1}x+n_{1})+k_{2}(m_{2}x+n_{2})=0$,即$(k_{1}m_{1}+k_{2}m_{2})x+k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}=0$.所以$k_{1}m_{1}+k_{2}m_{2}=0,k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}=0$,即$\frac{m_{1}}{n_{1}}=\frac{m_{2}}{n_{2}}$.所以$m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}$,即等式②成立.
(4)m 的值为$\frac{7}{3}$. 解析:由题意,得存在不为零的数$k_{1},k_{2},k_{3}$,使得$k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}=0$.又$A_{1}=x+3,A_{2}=2x+6,A_{3}=mx+7$,所以$k_{1}(x+3)+k_{2}(2x+6)+k_{3}\cdot(mx+7)=0$,即$(k_{1}+2k_{2}+mk_{3})x+3k_{1}+6k_{2}+7k_{3}=0$.所以$k_{1}+2k_{2}+mk_{3}=0,3k_{1}+6k_{2}+7k_{3}=0$,即$k_{1}+2k_{2}+\frac{7}{3}k_{3}=0$.所以$m=\frac{7}{3}$.