《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

26. (8分)如图,B是线段AD上一动点,沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动1次,C是线段BD的中点,AD = 10 cm.设点B运动的时间为t s(0 ≤ t ≤ 10).
(1) 当t = 2时.
①AB = 4cm,
②求线段CD的长;
(2) 用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长;
(3) 在运动过程中,若线段AB的中点为E,则线段EC的长是否变化? 若不变,请求出线段EC的长;若发生变化,请说明理由.
(1)②由(1)①,得AB=4cm.因为AD=10cm,AD=AB+BD,所以BD=AD−AB=6cm.因为C是线段BD的中点，所以CD=$\frac{1}{2}$BD=3cm.
(2)因为B是线段AD上一动点,沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动1次,AD=10 cm.所以点B运动到点D所需的时间为10÷2=5(s).所以当0 ≤ t ≤ 5时,AB=2t cm;当5＜t ≤ 10时,AB=10−2(t−5)=(20−2t)cm.则AB=$\begin{cases} 2t\ \text{cm}(0\leqslant t\leqslant 5), \\ (20-2t)\text{cm}(5＜t\leqslant 10). \end{cases}$
(3)线段EC的长不变.因为线段AB的中点为E,C是线段BD的中点，所以EB=$\frac{1}{2}$AB,BC=$\frac{1}{2}$BD.所以EC=EB+BC=$\frac{1}{2}$(AB+BD)=$\frac{1}{2}$AD.又AD=10 cm,所以EC=5 cm.所以线段EC的长不变，且EC=5 cm.

答案：
(1)①4　　解析:由题意,得AB=2×2=4(cm).
　　②由
(1)①,得AB=4cm.因为AD=10cm,AD=AB+BD,所以BD=AD−AB=6cm.因为C是线段BDの中点，所以CD=$\frac{1}{2}$BD=3cm.
(2)因为B是线段AD上一动点,沿A→D→A以2 cm/s的速度往返运动1次,AD=10 cm.所以点B运动到点D所需的时间为10÷2=5(s).所以当0 ≤ t ≤ 5时,AB=2t cm;当5＜t ≤ 10时,AB=10−2(t−5)=(20−2t)cm.则AB=$\begin{cases} 2t\ \text{cm}(0\leqslant t\leqslant 5), \\ (20-2t)\text{cm}(5＜t\leqslant 10). \end{cases}$
(3)线段EC的长不变.因为线段AB的中点为E,C是线段BD的中点，所以EB=$\frac{1}{2}$AB,BC=$\frac{1}{2}$BD.所以EC=EB+BC=$\frac{1}{2}$(AB+BD)=$\frac{1}{2}$AD.又AD=10 cm,所以EC=5 cm.所以线段EC的长不变，且EC=5 cm.

27. (8分)如图①,PQ//MN,A,B两点分别在MN,PQ上,且∠BAM = 2∠BAN.
(1) ∠BAN的度数为____;
(2) 射线AM绕点A按顺时针方向旋转至AN便立即回转至AM的位置,射线BP绕点B按顺时针方向旋转至BQ便立即回转至BP的位置.若射线AM旋转的速度是每秒2°,射线BP旋转的速度是每秒1°,射线BP先旋转30 s,射线AM才开始旋转,在射线BP到达BQ之前,射线AM旋转多少秒时,两射线互相平行?
(3) 如图②,若两射线AM,BP分别绕A,B两点按顺时针方向同时旋转,速度同(2),在射线AM到达AN之前,若两射线交于点E,过点E作∠AEF交PQ于点F,使∠AEF = 120°,则在旋转过程中,∠BAE与∠BEF之间的数量关系是否会发生变化? 若不会发生变化,请求出其数量关系;若会发生变化,请说明理由.

答案：

(1)60°
(2)设射线AM旋转ts后，两射线互相平行，此时射线AM交PQ于点C,射线BP交MN于点D.由题意,得∠PBD=(t+30)°.当射线BP到达BQ时,t+30=180,解得t=150;当射线AM到达AN时,2t=180,解得t=90.所以t的取值范围为0＜t＜150.因为150×2°=300°,300°÷180°=1……120°,所以射线AM会经历转向AN再回转的过程.所以分两种情况:① 如图①,当射线AM转向AN,即0＜t＜90时,∠CAM=(2t)°.因为PQ//MN,所以∠PBD=∠BDA.因为AC//BD,所以∠CAM=∠BDA.所以∠CAM=∠PBD.所以2t=t+30,解得t=30,符合题意;② 如图②,当射线AM从AN处回转,即90＜t＜150时,∠CAN=(2t−180)°.因为PQ//MN,所以∠PBD+∠BDA=180°.因为AC//BD,所以∠CAN=∠BDA.所以∠PBD+∠CAN=180°.所以t+30+2t−180=180,解得t=110,符合题意.综上,射线AM旋转30s或110s时，两射线互相平行.
　　　
　　　
(3)∠BAE与∠BEF之间的数量关系不会发生变化.设射线AM旋转as,则∠EAN=(180−2a)°,∠PBE=a°.由
(1),得∠BAN=60°,所以∠BAE=∠BAN−∠EAN=(2a−120)°.因为PQ//MN,所以∠PBA+∠BAN=180°.所以∠PBA=180°−∠BAN=120°.所以∠ABE=∠PBA−∠PBE=(120−a)°.又∠BEA+∠ABE+∠BAE=180°,所以∠BEA=180°−∠ABE−∠BAE=(180−a)°.因为∠AEF=120°,所以∠BEF=∠AEF−∠BEA=(a−60)°.所以∠BAE=2∠BEF.