《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

20. (4 分)如图,$ C $,$ D $ 两点在线段 $ AB $ 上,且满足 $ CD= \frac{1}{4}AD= \frac{1}{6}BC $,$ E $,$ F $ 分别为线段 $ AC $,$ BD $ 的中点.如果 $ EF= 10cm $,求线段 $ AB $ 的长.

答案： 由题意，得$AD = 4CD$，$BC = 6CD$，$AC = 2EC$，$BD = 2DF$。因为$AC=AD - CD = 3CD$，$BD=BC - CD = 5CD$，所以$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}CD$，$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}CD$。又$EF=EC + CD + DF$，$EF = 10 cm$，所以$\frac{3}{2}CD+CD+\frac{5}{2}CD = 10 cm$，解得$CD = 2 cm$。所以$AB=AD + BD=4CD + 5CD=9CD = 18 cm$。

21. (6 分)亮点原创 在正 $ n $ 边形中,每个内角与每个外角的度数之比为 $ 3:2 $.
(1) 求该正 $ n $ 边形每个内角的度数;
(2) 俗话说“化繁为简无虚旷,素朴丝竹本色真”.利用“转化”的思想,我们可将复杂问题简单化.我们熟知正 $ n $ 边形有 $ n $ 个顶点,则每个顶点可画$(n - 3)$条对角线,这些对角线可将正 $ n $ 边形分为$(n - 2)$个三角形(以上都用含 $ n $ 的代数式表示).再结合每个三角形的内角和为 $ 180^{\circ} $,我们可求得 $ n $ 的值为5.

答案： （1）由题意，设每个内角的度数为$3x$，每个外角的度数为$2x$，则$3x + 2x=180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。则该正$n$边形每个内角的度数为$36^{\circ}×3 = 108^{\circ}$。（2）$(n - 3)$　$(n - 2)$　5　解析:每个顶点可与任一不相邻的顶点连接，所以每个顶点可画$(n - 3)$条对角线，即正$n$边形可分为$(n - 2)$个三角形。所以该正$n$边形的内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$。由（1），得正$n$边形每个内角的度数为$108^{\circ}$，所以$(n - 2)×180^{\circ}=108^{\circ}n$，解得$n = 5$。则$n$的值为5。

22. (6 分)(2023·湖北武汉改编)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD// BC $,$ ∠B= ∠D $,点 $ E $ 在 $ BA $ 的延长线上,连接 $ CE $.
(1) 判断 $ ∠E $ 与 $ ∠ECD $ 是否相等? 并说明理由;
(2) 若 $ ∠E= 60^{\circ} $,$ CE $ 平分 $ ∠BCD $,求 $ ∠EAD $ 的度数.

答案： （1）$\angle E=\angle ECD$。理由如下:因为$AD// BC$，所以$\angle EAD=\angle B$。又$\angle B=\angle D$，所以$\angle EAD=\angle D$，即$BE// CD$。所以$\angle E=\angle ECD$。（2）由（1），得$\angle E=\angle ECD$，$\angle EAD=\angle B$，且$\angle E = 60^{\circ}$，所以$\angle ECD = 60^{\circ}$。又$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle BCE=\angle ECD = 60^{\circ}$。又$\angle B+\angle BCE+\angle E = 180^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-\angle BCE-\angle E = 60^{\circ}$，即$\angle EAD = 60^{\circ}$。