《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

15. (14分)如图,$∠AOB= 120^{\circ }$,射线 OC 在$∠AOB$的内部,射线 OM 是$∠AOC$靠近射线 OA 的三等分线,射线 ON 是$∠BOC$靠近射线 OB 的三等分线.
(1) 若 OC 平分$∠AOB$,求$∠MON$的度数;
(2) 小明说:“当射线 OC 绕点 O 在$∠AOB$的内部旋转时,$∠MON$的度数始终保持不变.”你认为小明的说法是否正确? 说明理由;
(3) 若 OM,ON,OA,OB 中有两条射线互相垂直,求$∠AOC$的度数.

答案：
(1)因为∠AOB=120°,OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°.又射线OM是∠AOC靠近射线OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近射线OB的三等分线，所以∠COM=$\frac{2}{3}$∠AOC=40°,∠CON=$\frac{2}{3}$∠BOC=40°.所以∠MON=∠COM+∠CON=80°.
(2)小明的说法正确.理由如下:因为射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，所以∠COM=$\frac{2}{3}$∠AOC,∠CON=$\frac{2}{3}$∠BOC.又∠AOB=120°,∠AOC+∠BOC=∠AOB,所以∠COM+∠CON=$\frac{2}{3}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{2}{3}$∠AOB=80°.又∠MON=∠COM+∠CON,所以∠MON=80°.
(3)由
(2),得∠MON=80°,且∠AOB=120°,射线OM,ON,OA,OB中有两条射线互相垂直,所以OA⊥OM或OA⊥ON或OM⊥OB或ON⊥OB.当OA⊥OM时，∠AOM=90°.因为射线OM是∠AOC靠近射线OA的三等分线，且射线OC在∠AOB 的内部,所以∠AOC=3∠AOM=270°＞120°,舍去;当OA⊥ON时,∠AON=90°,所以∠AOM=∠AON−∠MON=10°.则∠AOC=30°;当OM⊥OB时,∠BOM=90°,所以∠AOM=∠AOB−∠BOM=30°.则∠AOC=90°;当ON⊥OB时,∠BON=90°.因为射线ON是∠BOC靠近射线OB 的三等分线，且射线OC在∠AOB的内部，所以∠BOC=3∠BON=270°＞120°,舍去.综上，∠AOC的度数为30°或90°.

16. (16分)(新素养 推理能力)(2025·江苏无锡期末)如图,数轴上 A,B,C 三个点表示的数分别是 a,b,c,且满足$|a+12|+|b+6|+(c-9)^{2}= 0$,动点 P,Q 都从点 A 出发,且点 P 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 移动.
(1) $a= $______,$b= $______,$c= $______;
(2) 若 M 为 PA 的中点,N 为 PB 的中点,试判断在点 P 运动的过程中,线段 MN 的长是否发生变化? 请说明理由;
(3) 当点 P 运动到点 B 时,点 Q 再从点 A 出发,以每秒 3 个单位长度的速度在 A,C 两点之间往返运动,直至点 P 停止运动,点 Q 也停止运动.当点 P 开始运动后的第______秒时,P,Q 两点之间的距离为 2.

答案：

(1)−12　−6　9
(2)线段MN的长不发生变化.理由如下:设点P的运动时间为x秒.由
(1),得a=−12,b=−6,所以AB=6.由题意，得PA=x.分类讨论如下:①当点P在A,B两点之间时,PB=AB−PA=6−x.因为M为PA 的中点,所以PM=AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{x}{2}$.因为N为PB的中点,所以PN=BN=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{6−x}{2}$.则MN=PM+PN=$\frac{x}{2}$+$\frac{6−x}{2}$=3;②当点P在点B的右边时,PB=PA−AB=x−6.因为M为PA的中点，所以PM=AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{x}{2}$.因为N为PB的中点，所以PN=BN=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{x−6}{2}$.则MN=PM−PN=$\frac{x}{2}$−$\frac{x−6}{2}$=3.综上,线段MN的长不发生变化.
(3)2,8,10,14.5,15.5　解析:由
(1),得a=−12,b=−6,c=9,所以AB=−6−(−12)=6,BC=9−(−6)=15,AC=9−(−12)=21,即点P从点B运动至点C所需的时间为$\frac{15}{1}=15$(秒),点Q从点A运动至点C所需的时间为$\frac{21}{3}$=7(秒),点Q在点P到达点C时，所处位置对应的数为3×15−21×2−12=−9.设点P从点B运动t秒后，P，Q两点之间的距离为2.所以BP=t,PQ=2.所以可分为以下5种情况:①如图①,当P,Q两点都向右运动,且点P 在点Q的右侧时,AQ=3t.因为AP=AB+BP=t+6,AP=AQ+PQ,所以t+6=3t+2,解得t=2.所以AP=t+6=8.所以点P开始运动后的第8秒，P,Q两点之间的距离为2;
②如图②,当P,Q两点都向右运动,且点P 在点Q的左侧时,AQ=3t.因为AP=AB+BP=t+6,AQ=AP+PQ,所以3t=t+6+2,解得t=4.所以AP=t+6=10.所以点P开始运动后的第10秒,P,Q两点之间的距离为2;
③如图③,当点P向右运动,点Q向左运动，且点P在点Q的左侧时，因为AC+CQ=3t,所以CQ=3t−21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+PQ+CQ,所以21=t+6+2+3t−21,解得t=8.5.所以AP=t+6=14.5.所以点P开始运动后的第14.5秒,P,Q两点之间的距离为2;
④如图④，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q的右侧时，因为AC+CQ=3t,所以CQ=3t−21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+CQ−PQ,所以21=t+6+3t−21−2,解得t=9.5.所以AP=t+6=15.5.所以点P开始运动后的第15.5秒,P,Q两点之间的距离为2;
⑤当点P向右运动,点Q未出发时,AP=PQ=2,所以点P开始运动后的第2秒,P，Q两点之间的距离为2.
综上，当点P开始运动后的第2,8,10,14.5,15.5秒时,P,Q两点之间的距离为2.