《2025年亮点给力大试卷七年级数学上册苏科版》

26.(8分)数学兴趣小组在合作学习过程中,获得知识的同时,也提出了新的问题.例如：根据$a^{n}= b$,知道$a和n$的值,可以求$b$的值.如果知道$a和b$的值,那么可以求$n$的值吗？他们为此进行了研究,并规定：若$a^{n}= b$,则$f(a,b)= n$.例如：若$2^{3}= 8$,则$f(2,8)= 3$.根据他们的研究结果,解答下列各题：
(1)$f(3,27)= $3,$f(4,16)= $2；
(2)$f( - 3, - 27)-f( - 5,625)= $-1；
(3)若$f(a, - 32)= 5$,$f(4,b)= 3$,则$f(a,b)$的值是多少？
因为(-2)⁵=-32,4³=64,所以f(-2,-32)=5,f(4,64)=3,即a=-2,b=64.又(-2)⁶=64,所以f(-2,64)=6,即f(a,b)=6.

答案：
(1)3 2 解析:因为3³=27,4²=16,所以f(3,27)=3,f(4,16)=2.
(2)-1 解析:因为(-3)³=-27,(-5)⁴=625,所以f(-3,-27)=3,f(-5,625)=4.所以f(-3,-27)-f(-5,625)=3-4=-1.
(3)因为(-2)⁵=-32,4³=64,所以f(-2,-32)=5,f(4,64)=3,即a=-2,b=64.又(-2)⁶=64,所以f(-2,64)=6,即f(a,b)=6.

27.(8分)新素养 运算能力 定义：对于一个两位数$x$,如果$x$满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为“标准数”.将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,将这个新两位数与原两位数求和,再除以11,所得的商记为$S(x)$.例如：当$x = 13$时,对调个位数字与十位数字得到新两位数31,新两位数与原两位数的和为$13 + 31 = 44$,44除以11的商为$44÷11 = 4$,所以$S(13)= 4$.
(1)$S(92)= $______11；
(2)若一个“标准数”$y的十位数字是k$,个位数字是$2(k - 2)$,且$S(y)= 14$,求$y$的值；
由题意，得$y = 10k + 2(k - 2)$，且$S(y) = [10k + 2(k - 2) + 10×2(k - 2) + k]÷11 = (10k + 2k - 4 + 20k - 40 + k)÷11 = (33k - 44)÷11 = 3k - 4$。又$S(y) = 14$，所以$3k - 4 = 14$，解得$k = 6$。则$y$的值为$10×6 + 2×(6 - 2) = 60 + 8 = 68$。
(3)经思考,小聪同学发现：“若$S(x)= 5$,则‘标准数’$x$的个位数字与十位数字之和一定为5.”请判断小聪同学的发现是否正确？如果正确,请说明理由；如果不正确,请举出反例.
正确。理由如下：设“标准数”$x$的十位数字为$a$，个位数字为$b$（$a$，$b$为不为零且互不相同的整数），则$x = 10a + b$，对调后新两位数为$10b + a$。由题意，得$S(x) = (10a + b + 10b + a)÷11 = (11a + 11b)÷11 = a + b$。因为$S(x) = 5$，所以$a + b = 5$，即“标准数”$x$的个位数字与十位数字之和一定为5。

答案：
(1)11 解析:由题意,得S
(92)=(92+29)÷11=11.
(2)由题意,得y=10k+2(k-2),且S(y)=[20(k-2)+k+10k+2(k-2)]÷11=2(k-2)+k.又S(y)=14,所以2(k-2)+k=14,解得k=6.则y的值为10×6+2×(6-2)=68.
(3)正确.理由如下:设"标准数"x=10a+b.由题意,得$\frac{10a+b+10b+a}{11}$=5,即a+b=5.则小聪同学的发现正确.