《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)既能整除 45,又能整除 60,这个数最大是 (A)
A.15
B.9
C.20
D.5
知识及方法
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答案： A

2. (2023 陕西 GXYZLG 中学)如果甲数= 2×2×3×5×A,乙数= 2×5×7×A(甲、乙、A 都是大于 1 的自然数)。甲、乙两数的最小公倍数是 (D)
A.104
B.120A
C.240A
D.420A

答案： D

3. (2021 陕西 JDFZ)20 以内既是奇数又是合数的所有数的最大公因数是3,最小公倍数是45。

答案： 3 45 【解析】20以内的奇数有1,3,5,7,9,11,13,15,17,19;20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,所以20以内既是奇数又是合数的数只有9和15,它们的最大公因数是3,最小公倍数是45。

4. (2024 陕西 JDFZ 少年班)甲、乙两数的最小公倍数是 90,乙、丙两数的最小公倍数是 105,甲、丙两数的最小公倍数是 126。那么甲数是18。

答案： 18 【解析】90=2×5×3×3,105=5×3×7,126=3×2×3×7,甲、乙两数的最小公倍数是90,甲、丙两数的最小公倍数是126,甲是90与126的最大公因数,即2×3×3=18。

5. (2023 陕西 AZ 中学)a、b 两个自然数的最大公因数是 3,它们的最小公倍数是ab÷3(用 a,b 的式子表示)。

答案： ab÷3

6. (2023 陕西 JDFZ)甲、乙两数的最小公倍数是 78,最大公因数是 13,已知甲数是 26,乙数是39。
知识及方法
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答案： 39

7. (2022 陕西 JDFZ)甲、乙两数的比是 2:7,它们的最大公因数和最小公倍数的和是 450,则甲是60,乙是210。

答案： 60 210

8. (2024 陕西 TYZ)已知正整数 a、b 之差为 84,它们的最小公倍数是其最大公因数的 18 倍,那么 a、b 中较大的数是108。

答案： 108 【解析】设a＞b,有a=b+84,又设a、b的最大公因数为d,则最小公倍数可以用18d来表示,设a=md,b=nd(m＞n且m、n互质),则(m-n)d=84,且mn=18,若m=18,n=1,则d不是整数;若m=9,n=2,则d=12,a、b中较大的数是a=9×12=108。

9. (2024 重庆 XNDXFZ 改编)已知两个自然数的和为 54,它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114,则这两个自然数分别是24和30。

答案： 24和30 【解析】设这两个自然数分别是ma、mb,其中m为它们的最大公因数,a与b互质(不妨设a≤b),根据题意有:m(a+b)=54;①mab-m=m(ab-1)=114;②所以可以得到m是54和114的公因数,因为(54,114)=6,所以m=1,2,3或6。如果m=1,由m(a+b)=54,有a+b=54,又由m(ab-1)=114,有ab=115,115=1×115=5×23,但是1+115=116≠54,5+23=28≠54,所以m≠1;如果m=2,由m(a+b)=54,有a+b=27,又由m(ab-1)=114,有ab=58,58=1×58=2×29,但是1+58=59≠27,2+29=31≠27,所以m≠2;如果m=3,由m(a+b)=54,有a+b=18,又由m(ab-1)=114,有ab=39,39=1×39=3×13,但是1+39=40≠18,3+13=16≠18,所以m≠3;如果m=6,由m(a+b)=54,有a+b=9;又由m(ab-1)=114,有ab=20,20表示成两个互质的数的乘积有两种形式:20=1×20=4×5,虽然1+20=21≠9,但是有4+5=9,所以取m=6是合适的,此时a=4,b=5,这两个数分别为24和30。

10. (2024 陕西 GDFZ)一根红丝带长 40 厘米,一根黄丝带长 32 厘米。要把它们都截成同样长的小段,而且没有剩余,每段最长是8厘米。

答案： 8

11. (2023 陕西 GDFZ)把一个长 2.31 米,宽 1.47 米,高 1.05 米的长方体木料,锯成同样大小的正方体木块,要求所锯的正方体木块体积尽可能大,木料又没有剩余(不考虑锯缝损耗),则最多可锯得的正方体木块有 385个。
知识及方法
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答案： 385

12. (2023 陕西 GX3C 创新班)如图,图中大长方形分别由面积为 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组成,那么图中阴影部分的面积为5平方厘米。

答案： 5平方厘米 【解析】上面两块面积和为12+36=48(平方厘米),下面两块面积和为24+48=72(平方厘米),48与72的最大公因数为24,故:面积为12平方厘米的长方形宽为2厘米,底边长为6厘米;面积为36平方厘米的长方形宽为2厘米,底边长为18厘米;面积为24平方厘米的长方形宽为3厘米,底边长为8厘米;面积为48平方厘米的长方形宽为3厘米,底边长为16厘米。阴影部分底边长为18-16=2(厘米),2×2÷2+2×3÷2=5(平方厘米),阴影部分的面积为5平方厘米。

13. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)陶老师买了作业本 112 本,铅笔 130 支,橡皮 70 块,平均分配给四(6)班的同学,结果作业本多出 13 本,铅笔少了 2 支,橡皮多出 4 块,则四(6)班最多有33名同学。

答案： 33 【解析】刚好够分配的作业本为112-13=99(本),铅笔为130+2=132(支),橡皮为70-4=66(块),因为99=3×3×11,132=2×2×3×11,66=2×3×11,所以99、132和66的最大公因数是33,则四
(6)班最多有33名同学。

14. (2023 陕西 TYZ)三个互不相同的正整数的和为 2022,当这三个数的最大公因数取最大值时,这三个正整数可能是 337 674 1011。

答案： 337 674 1011 【解析】设三个互不相同的正整数的最大公因数为a,则a为正整数,三个互不相同的正整数为ax₁,ax₂,ax₃,则x₁,x₂,x₃为三个互不相同的正整数,所以ax₁+ax₂+ax₃=2022,因为x₁到x₃为三个互不相同的正整数,则x₁+x₂+x₃最小为1+2+3=6,2022÷6=337,则这三个正整数可能为337,674,1011。