《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2024 陕西 SDFZ)单独完成某项工作,甲需要 10 个小时,乙需要 12 个小时,如果按照甲、乙、甲、乙、甲……的顺序工作,每次一小时,那么完成这项工作需要11小时。(填整数)

答案： 11 【解析】把这项工作的工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是$\frac{1}{10}$,乙的工作效率是$\frac{1}{12}$,将甲、乙轮流工作一小时看作一个循环,每个循环完成工作的$\frac{1}{10}+\frac{1}{12}=\frac{11}{60}$,5个循环完成工作的$\frac{11}{60}×5=\frac{55}{60}$,因为$\frac{55}{60}+$$\frac{1}{10}=\frac{61}{60}＞1$,所以完成这项工作需要$5×2+1=11$(小时)。

2. (2022 陕西 TYZ)工厂的仓库里有 80 吨货物,由一辆卡车负责货物的运输。第一天卡车从仓库里运出 60 吨,第二天再运进 50 吨,第三天又运出了 60 吨,第四天再运进 50 吨,……,如此不停地运下去,第5天时,仓库里的货物恰好被运完。

答案： 5

3. (2023 陕西 TYZ)小张、小李同时开始制作同一种零件,每人每分钟能制作1个零件,但小李每制作3 个零件要休息1分钟,小张每制作4个零件要休息1.5分钟,现在要他们共同完成制作325个零件的任务,最少要219分钟。

答案： 219

4. (2024 陕西 JDFZ 少年班)一项工作,甲、乙合作$12\frac {3}{5}$小时可以完成,若第1个小时甲做,第2个小时乙做,这样交替轮流做,恰好整数小时完成;若第1个小时乙做,第2个小时甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多$\frac {1}{3}$小时,那么这项工作由甲单独做,需要多少小时完成?

答案： 解:设这项工作的总工作量为单位“1”,那么甲,乙的工作效率和为$\frac{5}{63}$。若第一种做法的最后一小时是乙做的,那么甲、乙共做了偶数个小时,那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同,不会多$\frac{1}{3}$小时,与题意不符,故第一种做法整数小时做完,最后一个小时必然是甲做的,所以甲1小时的工作量=乙1小时的工作量+$\frac{1}{3}$甲1小时的工作量,即甲、乙两人的工作效率的比为$3:2$,那么甲的工作效率为$\frac{5}{63}×\frac{3}{5}=\frac{1}{21}$,所以甲单独做要$1÷\frac{1}{21}=21$(小时)。
答:这项工作由甲单独做,要用21小时。

5. (2022 陕西 TYZ)某公司对新建的办公楼进行装修。甲工程队单独完成工作需要 150 天,乙工程队单独完成工作需要 180 天。现在两个工程队合作,甲工程队工作 5 天休息 2 天,乙工程队工作 6 天休息1天。问两个工程队合作多少天完成任务?

答案： 解:设工作总量为单位“1”,甲工程队的工作效率:$1÷150=\frac{1}{150}$,乙工程队的工作效率:$1÷180=\frac{1}{180}$。甲工程队一周的工作量:$\frac{1}{150}×5=\frac{1}{30}$,乙工程队一周的工作量:$\frac{1}{180}×6=\frac{1}{30}$。甲、乙工程队合作一周完成的工作量:$\frac{1}{30}+\frac{1}{30}=\frac{1}{15}$,需要时间:$1÷\frac{1}{15}=15$(周),因为每周的最后一天两工程队都休息,所以所用时间为$15×7-1=104$(天)。
答:两个工程队合作104天完成任务。

6. (2023 陕西 GXYZ)甲,乙,丙,丁四名打字员承担一项打字任务,若由这4人中的某人单独完成全部打字任务,则甲需 24 小时,乙需 20 小时,丙需 16 小时,丁需 12 小时。
(1)如果甲,乙,丙,丁四人同时打字,那么需要多少小时完成?
(2)如果按甲,乙,丙,丁,甲,乙,丙,丁……的次序轮流打字,每轮中每人各打1小时,那么需要多少小时完成?
(3)能否把(2)题所说的甲,乙,丙,丁的次序做适当的调整,其余都不变,使完成这项打字任务的时间至少提前半小时? 如果不能,请说明理由;如果能,至少说出一种轮流的次序,并求出能提前多少小时完成打字任务。

答案： 解:把工作总量看作单位“1”,甲、乙、丙、丁的工作效率分别是$\frac{1}{24}$、$\frac{1}{20}$、$\frac{1}{16}$、$\frac{1}{12}$。
(1)完成需要:$1÷(\frac{1}{24}+\frac{1}{20}+\frac{1}{16}+\frac{1}{12})=4\frac{4}{19}$(小时)。
答:四人同时打字,需要$4\frac{4}{19}$小时完成。
(2)甲、乙、丙、丁轮流一次看作一组,每组完成$\frac{1}{24}+$$\frac{1}{20}+\frac{1}{16}+\frac{1}{12}=\frac{19}{80}$,取4组,4组余下工作量:$1-\frac{19}{80}×4=$$\frac{1}{20}$;甲再工作一小时可完成$\frac{1}{24}$,还有$\frac{1}{20}-\frac{1}{24}=\frac{1}{120}$,乙继续完成需要:$\frac{1}{120}÷\frac{1}{20}=\frac{1}{6}$(小时),总时间:$4×4+1+\frac{1}{6}=$$17\frac{1}{6}$(小时)。
答:四人轮流打字,需要$17\frac{1}{6}$小时完成。
(3)调换顺序,四人一组的工作效率不变,还是需要轮流4次,共16小时,4组余下的工作量是$\frac{1}{20}$,现在至少需要提前半小时,现在的工作时间最多为$1+\frac{1}{6}$$-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$(小时),则4组以后的第一个人的工作效率至少为$\frac{1}{20}÷\frac{2}{3}=\frac{3}{40}$,只有丁的工作效率大于$\frac{3}{40}$,所以丁应该排在第一位,丁再做$\frac{1}{20}÷\frac{1}{12}=\frac{3}{5}$(小时)可以完成,能提前$1\frac{1}{6}-\frac{3}{5}=\frac{17}{30}$(小时)完成,则轮流次序可以是丁、甲、乙、丙。
答:能使完成这项打字任务的时间至少提前半个小时,轮流次序可以是丁、甲、乙、丙,能提前$\frac{17}{30}$小时完成打字任务。