《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

3. (2024陕西TYZ)已知点M是锐角三角形内部的一个点,如果以M点为端点,可以画15条射线,恰好把$\triangle ABC$分割为15个面积相等的小三角形,则称点M是"好点"。
(1)如图,若点O是$\triangle ABC$的一个"好点",在经过$\triangle ABC$三个顶点的射线OA、OB、OC将三角形分成的$\triangle OAB$、$\triangle OBC$、$\triangle OAC$中,若$\triangle OAB和\triangle OBC$的面积相等,且$\triangle ABC$的面积为1,则$\triangle OAC$的面积可能是多少?
(2)请探索$\triangle ABC$内部共有多少个"好点"?

答案： 3.解:
(1)设总面积为15份,若S△OAB=S△OBC=1份,则S△OAC=15−2=13(份),△OAC的面积为$\frac{13}{15}$;
若S△OAB=S△OBC=2份,则S△OAC=15−4=11(份),△OAC的面积为$\frac{11}{15}$;
若S△OAB=S△OBC=3份,则S△OAC=15−6=9(份),△OAC的面积为$\frac{3}{5}$;
若S△OAB=S△OBC=4份,则S△OAC=15−8=7(份),△OAC的面积为$\frac{7}{15}$;
若S△OAB=S△OBC=5份,则S△OAC=15−10=5(份),△OAC的面积为$\frac{1}{3}$;
若S△OAB=S△OBC=6份,则S△OAC=15−12=3(份),△OAC的面积为$\frac{1}{5}$;
若S△OAB=S△OBC=7份,则S△OAC=15−14=1(份),△OAC的面积为$\frac{1}{15}$。
(2)设总面积为15份。可以拆分的份数为:13、1、1或12、2、1或11、3、1或11、2、2或10、3、2或10、4、1或9、5、1或9、4、2或9、3、3或8、6、1或8、5、2或8、4、3或7、7、1或7、6、2或7、5、3或7、4、4或6、6、3或6、5、4或5、5、5。拆分的3个数分别为S△OAB、S△OBC、S△OAC的份数。若3个数都不同,有12种分法;若3个数中有2个数相同,有6种分法;若3个数都相同,有1种分法。所以一共有12×6+3×6+1=91(个)“好点”。

4. (2023陕西TYZHB学校)定义:如果四边形中有一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点。例如:如图①,在平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点。
(1)已知平行四边形ABCD如图②,在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE;(要求:画出必要的线段)
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与点B、D重合),请分别回答下列问题。($S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}分别表示\triangle ABP$、$\triangle CBP$、$\triangle CDP$、$\triangle ADP$的面积)
a. 如图③,当四边形ABCD只有一对等高点A、C且$S_{1}-S_{3}= 6$时,求$S_{2}与S_{4}$的数量关系。
b. 如图④,当四边形ABCD没有等高点且$S_{1}= 4,S_{3}= 2$时,求$S_{2}×S_{4}$。

答案：
4.解:
(1)画出四边形ABCE如解图①所示。(画法不唯一，E为BD上任意不与点B、D重合的点)
　　
第4题解图
(2)作辅助线如解图②。
a.由题得:S₁=S₂,S₃=S₄。因为S₁−S₃=6,所以S₂−S₄=6。
b.$\frac{S₁}{S₂}$=$\frac{h₁}{h₂}$,$\frac{S₄}{S₃}$=$\frac{h₁}{h₂}$,所以$\frac{S₁}{S₂}$=$\frac{S₄}{S₃}$,即:S₁×S₃=S₂×S₄,因为S₁=4,S₃=2,所以S₂×S₄=4×2=8。