《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

31. (2024 陕西 GDFZ)如图,一个正方体的密闭容器,棱长为 20 厘米,容器内盛有一些水,在容器的底部焊接着一个长方体实心铁块,铁块的上表面刚好与水面持平,当把容器倒置如图(此时铁块仍有一部分在水面以下)所示时,量得水面高度为 12 厘米,已知容器底面积是长方体铁块底面积的16 倍,则开始时水面高度为12.5厘米。

答案： 12.5　[解析]容器倒置前后空出的体积不变，设长方体铁块的底面积为S，则容器的底面积为16S，差为$16S - S=15S$，开始时水面的高度为$20 - 15S×(20 - 12)÷16S=12.5$(厘米)。

32. (2023 陕西 GDFZ)如图,有一个足够深的水槽,底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形,原本在水槽里盛有 6 厘米深的水和 6 厘米深的油(油在水的上方),如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、8 厘米、12 厘米的铁块,那么油层的层高是多少厘米?

答案： 解:水高=$16×12×6÷(16×12 - 8×8)=9$(厘米)，设油层高x厘米，油层的体积$V = 16×12×6=(12 - 9)×(16×12 - 8×8)+(x - 3)×16×12$，解得x=7。　　答:油层的层高是7厘米。　　一题多解:总体积:$16×12×6 + 16×12×6 + 8×8×12 = 3072$(cm³)，液面高:$3072÷(16×12)=16$(cm)，水层高:$16×12×6÷(16×12 - 8×8)=9$(cm)，油层高:$16 - 9=7$(cm)。　　答:油层的层高是7cm。

33. (2024 陕西 GDFZ)如图,两个棱长分别为 12 cm 和 8 cm 的正方体相叠合而成的容器内有深达11 cm 的水,今把底面积是$ 24 cm^2 $的实心圆棒垂直插入到底面,则此时水面上升了多高?

答案：
解:如解图所示，原来水的体积为$12×12×11=1584$(立方厘米)，插入圆棒后，A部分水的体积为$(12×12 - 24)×12=1440$(立方厘米)，B部分水的体积为$1584 - 1440=144$(立方厘米)，$144÷(8×8 - 24)=3.6$(厘米)，$12 - 11 + 3.6=4.6$(厘米)，故水面上升了4.6厘米。　　答:此时水面上升了4.6厘米。　　　　　　 　　 　　　11厘　　　　　　　　第33题解图

34. (2024 陕西 TYZ)一堆煤成圆锥形,底面半径是 1.5 m,高是 1.2 m,每立方米的煤重 1.5 t。(π 取 3)
(1)这堆煤有多少吨?
(2)如图所示的一块蜂窝煤重 0.001125 t,它的组成成分见下表。将这堆煤全都用来制作这种蜂窝煤,无任何损耗。
①用这堆煤一共能制成多少块蜂窝煤?
②制成的全部蜂窝煤的体积之和比这堆煤的体积增加了多少立方米?(每块蜂窝煤的体积不包括中间 12 个孔部分所占的体积)
一块蜂窝煤的组成成分表:
|含有成分|煤|黄泥|碳化锯木屑|石灰|水|
|所占比例|80%|17%|1%|1%|1%|

答案： 解:
(1)$\frac{1}{3}×3×1.5^{2}×1.2×1.5=4.05$(t)。　　答:这堆煤有4.05吨。　　
(2)①每块蜂窝煤中含煤$0.001125×80\%=0.0009$(t)，则能够制成蜂窝煤的数量为$4.05÷0.0009=4500$(块)。　　答:用这堆煤一共能制成4500块蜂窝煤。　　②$3×(\frac{12}{2})^{2}×9=972$(cm³)，$3×(\frac{2}{2})^{2}×9×12=324$(cm³)，则每块蜂窝煤体积为$972 - 324=648$(cm³)，所有蜂窝煤的体积为$648×4500×\frac{1}{1000000}=2.916$(m³)，原有煤的体积为$\frac{1}{3}×3×1.5^{2}×1.2=2.7$(m³)，增加的体积为$2.916 - 2.7=0.216$(m³)。　　答:制成的全部蜂窝煤的体积之和比这堆煤的体积增加了0.216立方米。