《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

18. (2024陕西GX2Z)如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形。
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于m−n。
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积。
方法①(m+n)²−4mn;
方法②(m−n)²。
(3)观察图②,你能写出$(m+n)^{2},(m-n)^{2},mn$这三个代数式之间的等量关系吗?
(m+n)²−4mn=(m−n)²
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若$a+b= 6,ab= 4$,则$(a-b)^{2}$的值。
(a−b)²=(a+b)²−4ab,因为a+b=6,ab=4,所以(a−b)²=36−16=20

答案： 18.解:
(1)m−n。
(2)方法①(m+n)²−4mn;
方法②(m−n)²。
(3)(m+n)²−4mn=(m−n)²。
(4)(a−b)²=(a+b)²−4ab,
因为a+b=6,ab=4,
所以(a−b)²=36−16=20。

19. (2024陕西XA3Z)在三角形ABC中,三边存在一定的不等关系,具体表示为"三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边"。如图①所示,有$AC-AB＜BC＜AC+AB$。
(1)村庄B和村庄C之间有一座水库,为了测得水库的宽度,小强想了一个办法:他先另找一个点A,测得B到A的距离为3千米,测得C到A的距离为2千米,如图②所示,则水库的宽度可能的取值为B。(填序号)
A. 5千米
B. 4千米
C. 6千米
D. 以上都不可能
(2)如图③,点D为三角形ABC内部一点,试用三角形三边关系证明:$DA+DB+DC＞\frac {1}{2}(AB+BC+AC)$。
证明:如题图③,根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知,在三角形ABD中,DA+DB＞AB;在三角形BCD中,BD+DC＞BC;在三角形ACD中,DC+DA＞AC,将以上三个不等式相加可得，2(DA+DB+DC)＞AB+BC+AC,故DA+DB+DC＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+AC)。
(3)令三角形三边长分别为a,b,c,其中c最大,由三角形三边关系可以得到$\frac {L}{3}＜c＜\frac {L}{2}$(L为三角形周长)。请用这个结论解决下列问题:
现有一根铁丝,总长度为20厘米,小张将铁丝剪成三段,且三段长度均为整数厘米,如果这三段恰好能围成一个三角形,那么一共有多少种剪法? (数字之间调换顺序算同一种剪法)
解:由题意可得c的取值范围为$\frac{20}{3}$＜c＜$\frac{20}{2}$,即6$\frac{2}{3}$＜c＜10,又因为c为整数,故c可取的值为7,8,9,可组成三角形的边长为:①当c=7时,(6,7,7);②当c=8时,(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8);③当c=9时,(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9)。所以一共有8种不同的剪法。

答案： 19.
(1)B [解析]由题意可知,AB−AC＜BC＜AB+AC，即3−2＜BC＜3+2,所以1＜BC＜5,故符合此范围的为4千米。
(2)证明:如题图③,根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知,在三角形ABD中,DA+DB＞AB;在三角形BCD中,BD+DC＞BC;在三角形ACD中,DC+DA＞AC,将以上三个不等式相加可得，2(DA+DB+DC)＞AB+BC+AC,故DA+DB+DC＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+AC)。
(3)解:由题意可得c的取值范围为$\frac{20}{3}$＜c＜$\frac{20}{2}$,即6$\frac{2}{3}$＜c＜10,又因为c为整数,故c可取的值为7,8,9,可组成三角形的边长为:①当c=7时,(6,7,7)，(7,4,9),(7,5,8);②当c=8时,(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8),(8,3,9);③当c=9时,(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9)。其中(6,7,7),(7,4,9),(7,5,8),(4,8,8),(8,3,9),(2,9,9)不满足c最大，所以一共有5种不同的剪法。