《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

7. (2024 陕西 GDFZ)一个水池安装了甲乙两个进水管。单开甲管 24 分钟能把空池灌满,单开乙管 18分钟可以把空池灌满。现在甲乙两管轮流开,按照甲1分钟,乙2分钟,甲2分钟,乙1分钟,甲1分钟,乙2分钟……如此交替下去,灌满一池水共用多少分钟?

答案： 解:将甲1分钟、乙2分钟、甲2分钟、乙1分钟四次开水管记作一个周期,一个完整的周期需要$1+2+2+$$1=6$(分钟),一个周期可以灌满池子的$\frac{1+2}{24}+\frac{1+2}{18}=\frac{7}{24}$,灌满整个池子需要:$1÷\frac{7}{24}=3\frac{3}{7}$,即灌满整个池子需要三个完整的周期,还剩下的$1-\frac{7}{24}×3=\frac{1}{8}$池子没灌满。还剩下的$\frac{1}{8}$池先开甲管1分钟还剩下池子的$\frac{1}{8}-$$\frac{1}{24}=\frac{1}{12}$没有灌满,再开乙管需要$\frac{1}{12}÷\frac{1}{18}=1.5$(分钟)灌满,一共需要$6×3+1+1.5=20.5$(分钟)。
答:灌满水池一共需要20.5分钟。

8. (2022 陕西 GDFZ)某蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管,要灌满一池水,单开甲管需要3 小时,单开丙管需要5小时;要排光一池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6小时。现在池内有$\frac {1}{6}$池水,如果按甲、乙、丙、丁的顺序,循环开各水管,每次每管1小时,问:多长时间后水开始溢出水池?

答案： 解:将蓄水池的容积看作单位“1”,甲、乙、丙、丁各开1小时看作1个周期,每个周期能注水:$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$-\frac{1}{6}=\frac{7}{60}$,5个周期能注水:$\frac{7}{60}×5=\frac{7}{12}$,此时还剩$1-\frac{1}{6}$$-\frac{7}{12}=\frac{1}{4}$的水未注,还需要甲管进水:$\frac{1}{4}÷\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$(小时),共用时:$4×5+\frac{3}{4}=20\frac{3}{4}$(小时)=20小时45分钟。
答:20小时45分钟后水开始溢出水池。

9. (2024 陕西 GDFZ)甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,最后恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做,则最后比原计划多用$\frac {1}{2}$天;若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做,则最后比原计划多用$\frac {1}{3}$天。已知甲单独完成这件工作要 13 天,试问:甲、乙、丙三人一起做这件工作,要用多少天才能完成?

答案： 解:由三种不同做工顺序列出等式:甲+乙=乙+丙+甲×$\frac{1}{2}=$丙+甲+乙×$\frac{1}{3}$,则丙=(甲+乙)-乙-甲×$\frac{1}{2}=$$\frac{1}{2}$甲,丙=(甲+乙)-甲-乙×$\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$乙,所以$\frac{2}{3}$乙=$\frac{1}{2}$甲,乙=$\frac{3}{4}$甲,甲工效:$1÷13=\frac{1}{13}$,则丙工效:$\frac{1}{13}×\frac{1}{2}$$=\frac{1}{26}$,乙工效:$\frac{1}{13}×\frac{3}{4}=\frac{3}{52}$,合作共用时间:$1÷(\frac{1}{13}+\frac{1}{26}+$$\frac{3}{52})=\frac{52}{9}=5\frac{7}{9}$(天)。
答:甲、乙、丙三人一起做这件工作,要用$5\frac{7}{9}$天才能完成。

10. (2022 陕西 GDFZ)公园水池每周需换一次水,水池有甲、乙、丙三根进水管。第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时,恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池;第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时,灌满一池水比第一周少用了15分钟;第三周他按丙、甲、乙、丙、甲、乙……的顺序轮流打开1小时,比第一周多用了15分钟;第四周他三个管同时打开,灌满一池水用了2小时20分钟;第五周他只打开甲管,那么灌满一池水需用多少小时?

答案： 【思路分析】先通过假设法判断出第一周是打开哪根水管1小时后恰好灌满空水池,再对比三周灌满水池的时间得出单位时间内三根水管的进水量之比,从而求出只打开甲管,灌满一池水所需的时间。
解:①假设第一周恰好在打开丙管1小时后灌满空池,说明了灌满水池所需的时间为3小时的整数倍,则第二周调换三根水管的顺序,所需时间应该一样,由此假设不成立。
②假设第一周恰好在打开乙管1小时后灌满空池,说明了灌满水池所需的时间是若干个3小时再多加1小时甲和1小时乙,则第二周调换成乙、丙、甲的顺序,所花时间少了15分钟,说明丙45分钟的灌水量与甲60分钟的灌水量相同,第三周调换成丙、乙、甲的顺序,丙先灌水60分钟,则乙不再需要1小时就能灌满水池,不可能出现比第一周多用15分钟,假设不成立。
③假设第一周恰好在打开甲管1小时后灌满空池,说明了灌满水池所需的时间是若干个3小时再多加1小时甲,则第二周调换成乙、丙、甲的顺序,所花时间少了15分钟,说明乙45分钟的灌水量与甲60分钟的灌水量相同,第三周调换成丙、乙、甲的顺序,所花时间多了15分钟,说明乙30分钟的灌水量与丙60分钟的灌水量相同。则甲管1小时的进水量与乙管45分钟的进水量相同,乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同,所以1甲=$\frac{3}{4}$乙,$\frac{1}{2}$乙=1丙,所以三管单位时间内的进水量之比为甲:乙:丙=$3:4:2$,2小时20分钟=$\frac{7}{3}$小时,甲管的工作效率:$1÷\frac{7}{3}×\frac{3}{3+4+2}=\frac{1}{7}$,甲管灌满一池水需要:$1÷\frac{1}{7}=7$(小时)。
答:甲管灌满一池水需要7小时。