《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2023 陕西 SDFZ 数竞班)如图,$∠PAQ= 45^{\circ }$,点 B,C 分别在 AP 和 AQ 上,$AB= 4cm$,点 C
在 AQ 上移动。
(1)请在图中找到点 C 的位置,使得三角形 ABC 是直角三角形;
(2)求出(1)中三角形 ABC 的面积。

答案：
解:
(1)作图如解图所示，三角形ABC₁和三角形ABC₂是直角三角形;
(2)在三角形ABC₂中,∠A=45°,∠ABC₂=90°,AB=4cm,所以BC₂=AB=4cm,三角形ABC₂的面积为$\frac{1}{2}$×4×4=8(cm²);在三角形ABC₁中,由解图可知,三角形ABC₁的面积为三角形ABC₂面积的一半,即三角形ABC₁的面积为4cm²。答:
(1)中三角形ABC的面积为8cm²或4cm²。

2. (2024 陕西 CX3C)如图,矩形纸片 ABCD 中,$AB= 4,AD= 8$,P 为边 AD 上一动点,将矩形纸片 ABCD
沿点 P 折叠,折叠后 BC 与 AP 相交于点 E。
(1)$∠CBP$为何值时,点 E 与点 A 重合?
(2)当 AP 长为何值时,$△BEP$的面积最大?并求出它的最大值。

答案：
解:
(1)如解图①,当点A与点E重合时，因为四边形ABC'D'为矩形,所以∠ABC'=90°,由折叠可知,∠EBP=∠C'BP,因为∠EBP+∠C'BP=∠ABC'=90°,所以∠EBP=45°。答:当∠CBP为45°时,点E与点A重合。
(2)当AP=8时,△BEP的面积最大,最大值为10,如解图②:由折叠知,∠CBP=∠C'BP,因为AD//BC',所以∠EPB=∠C'BP,即∠EPB=∠EBP,所以BE=PE,因为S△BEP=$\frac{1}{2}$PE·AB,而AB的长度不变，所以当PE最长时,△BEP的面积最大,又因为PE=BE,所以当BE最长时,△BEP的面积最大,而在△ABE中,只要当AE最长时,BE就最长，所以当AE最长时,AP最长=AD'=8,设PE=BE=x,则AE=8−x,在Rt△ABE中,AB²+AE²=BE²,所以4²+(8−x)²=x²,解得x=5,所以PE=5,所以S△BEP=$\frac{1}{2}$×5×4=10,答:当AP=8时,△BEP的面积最大,最大值为10。

3. (2023 陕西 GXYZ 东校区改编)动点 P 在平行四边形 ABCD 边上沿着 A→B→C→D 的方向匀速移动,到达点 D 时停止移动。已知点 P 的速度为1个单位长度/秒,其所在位置用点 P 表示,点 P 到对角线 BD 的距离(即垂线段 PQ 的长)为 d 个单位长度,其中 d 与 t 的函数图象如图②所示。
(1)填空:$AB= $______,$BC= $______。
(2)若$a= 3,BD= 5$,则$t= 3$时,$PQ= $______。
(3)如图②,点 M,N 分别在函数第一和第三段图象上,线段 MN 与横轴平行,M,N 的横坐标分别为$t_{1},t_{2}$,设$t_{1},t_{2}$时,点 P 走过的路程分别为$l_{1},l_{2}$,若$l_{1}+l_{2}= 16$,求$t_{1},t_{2}$的值。

答案：
解:
(1)5 4
(2)$\frac{6}{5}$[解析]如解图①,若a=3,BD=5,t=3时,AP=3,PQ:AQ'=BP:AB,PQ:3=(5−3):5,PQ=$\frac{6}{5}$。
(3)由题意可得l₁=t₁,l₂=t₂,因为l₁+l₂=16,所以t₁+t₂=16,①因为线段MN平行于横轴，所以yM=yN,即此时的d值相同，如解图②,所以AP₁=CP₂,即t₁=t₂−9,②联立①②得{t₁+t₂=16 t₁=t₂−9,解得{t₁=3.5 t₂=12.5,所以t₁=3.5,t₂=12.5。答:t₁的值为3.5,t₂的值为12.5。