《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2022 陕西 GDFZ)某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样。那么,这样需要增加(C)种不同的车票。
A.24
B.42
C.48
D.21

答案： C

2. (2024 陕西 GX11C)计划从甲市到乙市修建一条高速铁路,在两市之间要停靠6个站点,需要制定28种票价,设计56种车票。

答案： 28 56

3. (2024 陕西 TYZ 元培班)小丽过生日邀请了12位好朋友,他们都是同学,如果在场的每两人握一次手,则这次生日一共要握手78次。

答案： 78

4. (2022 陕西 CXJGDFZ)有50个学生参加联欢会,第一个到会的女生同全部男生握过手,第二个到会的女生只差1个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,依此类推,最后一个到会的女生同7个男生握过手,这些学生中有个男生。

答案： 28

5. (2024 陕西 GDFZ)五个人参加象棋比赛,每两个人都要赛一局,胜者得2分,平局各得1分,负者得0分。比赛结果第一名两人并列,第四名两人并列,那么第三名得分4。

答案： 4 【解析】假设这5个人分别为A,B,C,D,E,A与E并列第一,C与D并列第四,据题意可知,共比赛5×(5-1)÷2=10(场),可能会有以下情况:①由于A和E并列第一名,所以A与E都全胜四场不可能;②如A与E各胜二场,总共有十场球,则另六场就得由B,C,D来赢,若C,D各赢一场,则B必须赢四场,那么排名就是第一了,显然与题意不符;若D,C各赢二场,则B必须赢二场,则C,D,B名次相同,不合题意。③A与E各胜三场并列排名第一,B胜二场排名第三,C和D各胜一场并列排名第四,这种情况下B的得分为4分,符合题意。

6. (2022 陕西 GXYZ)在一次围棋比赛中,每两个人都要赛一场,胜者得2分,平局两人各得1分,负者得0分。现在五位同学统计了全部选手的总分,分别是551,552,553,554,555,但只有一个统计是正确的。问:共有多少名选手参赛?

答案： 解:设有x名选手,每两个人都要赛一场,则总场数为x·(x-1)÷2,全部选手的总分即为x·(x-1),且为偶数,根据题意可列方程①为x·(x-1)=552,因为24×23=552,所以总分为552有解,这个数是正确的,选手人数为24名;方程②为x·(x-1)=554,无整数解。答:共有24名选手参赛。

7. (2024 陕西 JDFZKG 学校)有12根筷子,每次取1根或2根,取12根共有(C)种不同的取法。
A.231
B.232
C.233
D.234

答案： C 【解析】经典爬楼梯问题的变形,列举从出取第(n+2)根筷子的取法数量=取第(n+1)根筷子的取法数量+取第n根筷子的取法数量。
取第几根筷子 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
取法/种 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

8. (2024 陕西 GDFZ)冬冬要把三个小球放入三个箱子,其中三个小球的颜色分别是红色、黄色和蓝色,而三个箱子的颜色也分别是红色、黄色和蓝色。如果这些箱子都可以空着不放球,那么有(D)种不同的放球方法。
A.3
B.6
C.9
D.27

答案： D

9. (2024 陕西 TYZ)一个人上楼要走10级台阶,他每步可以迈1级、2级或3级台阶,那么他走完10级台阶共有274种不同的方法。

答案： 274 【解析】如果是1级,有1种走法;如果是2级,有2种走法:11,2;如果是3级,有4种走法:111,12,21,3;如果是4级,有7种走法:1111,112,121,211,22,13,31;如果是5级,有13种走法:11111,1112,1121,1211,2111,113,131,311,122,212,221,23,32;…可以看出:走法所组成的数列中,从4级的结果数开始,后一个数是它前三个数的和,由此得出:如果是6级,走法有:4+7+13=24(种);如果是7级,走法有:7+13+24=44(种);如果是8级,走法有:13+24+44=81(种);如果是9级,走法有:24+44+81=149(种);如果是10级,走法有:44+81+149=274(种)。

10. (2022 陕西 CXGJ 学校)某种细菌的繁殖速度很快,20分钟就能繁殖一代(一个分裂为两个),如果手上原有细菌45个,如果不洗手,2小时后手上的细菌有2880个。

答案： 2880

11. (2024 陕西 XA3Z)如图,把A,B,C,D,E,F这六个部分用5种不同颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有1620种不同的着色方法。

答案： 1620 【解析】E与其他五个部分均相邻,先确定E的着色方法。对于E有5种着色方法,A与E相邻,所以A有4种着色方法,B与A和E相邻,所以B有3种着色方法,C与A和E相邻,所以C有3种着色方法,D与C和E相邻,所以D有3种着色方法,同理可知F有3种着色方法,共有5×4×3×3×3×3=1620(种)不同的着色方法。