《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

12. (2024陕西GDFZ)小颖和小林用一些直角三角形纸片进行数学探究活动。
(1)如图①,小颖用一个等腰直角三角形纸片ABC和另一个直角三角形纸片DEF拼图,其中$BC= DE= 6$厘米,$DF= 8$厘米,$EF= 10$厘米。她将这两个直角三角形的直角顶点A与D重合,并且BC与EF平行。连接BE、CF,则梯形BEFC的面积为14.4平方厘米。
(2)如图②,小林把小颖拼成的图形中的三角形纸片ABC绕着点A旋转,取BC边的中点M,连接EM、FM。在旋转过程中,$\triangle EMF$的面积的最大值为39平方厘米。

答案： 12.
(1)14.4平方厘米
(2)39平方厘米 [解析]△EMF的底边长不变,要使面积最大,则高最大,当△ABC旋转至正上方,BC与EF平行时面积最大,所以△EMF面积的最大值为10×(3+4.8)÷2=39(平方厘米)。

13. (2023陕西GDFZ)如图①,在直角梯形ABCD中,$AD// BC,∠B= ∠A= 90^{\circ }$。
操作示例:我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作$PE// AB$,截掉$\triangle PEC$,并将$\triangle PEC拼接到\triangle PFD$的位置,构成新的图形(如图②)。
思考发现:小明在操作后发现,该剪拼方法就是将$\triangle PEC$绕点P逆时针旋转$180^{\circ }到\triangle PFD$的位置,易知PE与PF在同一条直线上。可以得出四边形ABEF是一个平行四边形。

实践探究:
(1)类比图②的剪拼方法,请你分别将图③和图④的两种情形沿一条直线进行剪切,画出剪拼成一个平行四边形的示意图。
(2)如图③,在梯形ABCD中,$AD// BC$,E是CD的中点,$EF⊥AB$于点F,$AB= 5,EF= 4$,求梯形ABCD的面积。
联想拓展:在一个四边形中,只要有一组对边平行,就可以剪拼成平行四边形。
(3)如图⑤的多边形ABCDE中,$AE// CD$,若连接AC,则恰有$AC// ED$。请你像上面剪法一样沿一条直线进行剪切,将多边形ABCDE拼成一个平行四边形,请你在图⑤中画出剪拼的示意图,并作必要的文字说明。(不需证明)

答案：
13.解:
(1)剪拼后如解图①②所示。
(2)梯形ABCD剪拼后为平行四边形,如解图①所示，所以梯形ABCD的面积是AB×EF=5×4=20。
答:梯形ABCD的面积是20。
(3)如解图③,分别取AB和BC的中点F、G,过这两点画线段PQ,则PQ//ED,过点B作AE的平行线交PQ于点M,然后将△FAP绕点F逆时针旋转180°到△FBM的位置,将△GCQ绕点G逆时针旋转180°到△GBM的位置,拼成的四边形PQDE就是平行四边形。
第13题解图