《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

9. (2023 陕西 JDFZ)把棱长2分米的正方体木块削成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是6.28立方分米。(π取3.14)

答案： 6.28　[解析]削成最大的圆柱的高和底面直径都是2分米。所以体积为$3.14×(2÷2)^{2}×2=3.14×1×2=6.28$(立方分米)。

10. (2023 陕西 GXYZFD 中学)一个圆柱与一个圆锥等底等高,它们的体积之差是12立方米,那么圆锥的体积是6立方米,圆柱的体积是18立方米。

答案： 6　18

11. (2024 陕西 TYZ 元培班)如图,一个圆锥高15 dm,把这个圆锥从顶点处沿底面直径切成两个半圆锥后,表面积比原来增加了$60dm^2,$原来这个圆锥的体积是______。(π取3.14)

$62.8dm^{3}$

答案： $62.8dm^{3}$　[解析]这个圆锥从顶点处沿底面直径切成两个半圆锥后,比原来增加了2个高为圆锥的高,底为圆锥底面直径的等腰三角形,用增加的面积除以2是一个等腰三角形的面积,三角形的高(即圆锥的高)已知,根据三角形面积即可求出一个等腰三角形的底,则$60÷2÷\frac{1}{2}÷15=4(dm)$,即圆锥的底面直径为4dm,所以圆锥的体积为$3.14×(4÷2)^{2}×15×\frac{1}{3}=62.8(dm^{3})$。

12. (2023 陕西 GX3C 钱学森班)已知每立方厘米煤油的质量是0.8克,现在把质量为1克的煤油滴到水面上,最后形成一个直径为30厘米的圆斑,那么这层油膜的厚度约为______毫米。(π取3)
0.019

答案： 0.019　[解析]1克煤油的体积:1÷0.8=1.25(立方厘米),油膜的厚度:1.25÷(30÷2)^{2}÷3≈0.0019 (厘米),0.0019厘米=0.019毫米。

13. (2024 陕西 GDFZ)如上图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块,根据左图和右图的变化知,圆柱形铁块的体积是______立方分米。

9.42

答案： 9.42　[解析]等底等高的圆柱体和圆锥体,圆柱体体积是圆锥体体积的3倍,因此圆锥的体积为:$15.7÷(1+1+3)=3.14$(立方分米),则圆柱体体积为:$3.14×3=9.42$(立方分米)。

14. (2024 陕西 SDFZ)如图,有一个底面周长为18.84的圆柱体,斜着截取一段后,体积是183.69。

答案： 183.69　[解析]体积是底面半径为$18.84÷3.14÷2=3$,高为$4+9=13$的圆柱的体积的一半,即$3.14×3^{2}×13÷2=183.69$。

15. (2023 陕西 GDGZ)甲圆柱和乙圆柱底面周长的比是2:3,它们的体积的比是7:9,那么甲圆柱和乙圆柱高的最简整数比是7:4。

答案： $7:4$　[解析]甲、乙圆柱的底面周长的比是$2:3$,体积比是$7:9$,设甲圆柱底面半径是2,乙圆柱底面半径是3,甲圆柱的体积是7,乙圆柱的体积是9,则甲圆柱和乙圆柱的高之比为$[7÷(π×2^{2})]:[9÷(π×3^{2})]=7:4$。
　　解题技巧：圆的周长比=半径比;圆的面积比=半径的平方比。

16. (2023 陕西 JDHT 学校)牙膏出口处直径为5毫米,小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏可用36次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米,小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样,这一支牙膏只能用______次。(π取3.14)
25

答案： 25　[解析]1cm=10mm,牙膏出口处的半径为$5÷2=2.5(mm)$,新包装出口处的半径为$6÷2=3 (mm)$,所以能用$3.14×2.5^{2}×10×36÷(3.14×3^{2}×10)=25$(次)。

17. (2023 陕西 GDFZ)如图,一段圆柱体木料,如果截成两个小圆柱体,它的表面积将增加25.12平方厘米;如果沿直径截成两个半圆柱体,它的表面积将增加80平方厘米,原圆柱体的体积是______125.6立方厘米。

答案： 125.6立方厘米　[解析]圆柱体的底面积:$25.12÷2 =12.56$(平方厘米),$r^{2}=12.56÷3.14=4$,解得$r=2$ 厘米(负值已舍去),则$d=4$厘米,$d×h=80÷2=40 $(平方厘米),$h=40÷4=10$(厘米),原圆柱体体积:$3.14×2^{2}×10=125.6$(立方厘米)。

18. (2024 陕西 SDFZ)请阅读材料,并回答后面的问题。
某纯净水厂家的水桶原来是底面积为0.06平方米,高为0.6米的圆柱形,但每次注入水的时
候只注到0.3米的高度,却还是按照满桶水收费,因此被用户投诉"严重商业欺诈"。今年厂家将
水桶外形改为同底等高的圆锥形,注水高度还是0.3米,仍然按照满桶水收费,用户觉得新水桶空
余部分体积较小,所以就没有再投诉。
(1)新水桶的容积是多少升?
(2)法律规定:商品实际分量如果少于标准分量的90%,属于"严重商业欺
诈"。请问厂家使用新水桶后是否还属于"严重商业欺诈"?请说明理由。

答案：
(1)$V=\frac{1}{3}×0.06×0.6=0.012$(立方米)=12 (升)。
　答:新水桶的容积是12升。
(2)水注入高度是圆锥高度的一半,则未注水部分的底面积是水桶底面积的$\frac{1}{4}$,
新水桶未注水部分的体积:$\frac{1}{3}×0.06×\frac{1}{4}×0.3=0.0015$(立方米)=1.5(升)，
新水桶的注水部分体积:$12−1.5=10.5$(升),$10.5 ÷12×100\%=87.5\%$,$87.5\%＜90\%$。
答:厂家使用新水桶后还属于“严重商业欺诈”,理由:实际装水量占圆锥形水桶的87.5%,少于法律规定的量。