《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

33. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置,得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于 52605,那么这两个三位数的和等于606

答案： 606

34. (2022 陕西 JDFZCBYA 学校)24 个边长为 1 厘米的正方形,拼成 24 平方厘米的长方形,一共
有
4种不同的拼法。

答案： 4

35. (2021 陕西 TYZ)有四个小朋友,他们的年龄刚好一个比一个大一岁,又知他们年龄的乘积是1680。问:其中年龄最大的小朋友是8岁。

答案： 8

36. (2023 陕西 GXYZ 博雅班)2013 名同学在操场上排列成一个长方形,小聪站在第一排的最左边,小明站在最后一排的最右边,如果左右相邻或前后相邻的两名同学传递一张纸条需要 5 秒钟,则小聪将手中的纸条传给小明至少需要460秒。

答案： 460 【解析】2013=3×11×61,要使长方形长+宽最小,则2013=33×61,即长方形长上有61人,宽上有33人,长+宽共有61+33-1=93(人),传递时间至少需要(93-1)×5=460(秒)。

我校学生王某在参加全省中学生数学颁奖大会后,对好友说:"我的名次、分数和我的年龄乘起来是 2716。"请你猜王某14岁,竞赛得第2名,分数是97分。

答案： 14 2 97 【解析】2716=2×2×7×97,因为王某是中学生,所以王某的年龄是2×7=14(岁),则王某是第2名,成绩是97分。

38. (2024 陕西 JDFZ 少年班)将下列 10 个数分成两组,每组 5 个,要求两组中各数的乘积相等:6、8、9、13、21、26、35、44、50、55。
请在下面写出你的思考过程:
6=2×3;8=2×2×2;9=3×3;13=13;21=3×7;26=2×13;35=5×7;44=2×2×11;50=2×5×5;55=5×11。因为11只出现了2次,所以44和55肯定分在不同组,同理13和26分在不同组,同理可得44×13×21×50×6=55×26×35×8×9。

答案： 6=2×3;8=2×2×2;9=3×3;13=13;21=3×7;26=2×13;35=5×7;44=2×2×11;50=2×5×5;55=5×11。因为11只出现了2次,所以44和55肯定分在不同组,同理13和26分在不同组,同理可得44×13×21×50×6=55×26×35×8×9。

39. (2022 陕西 TYZ)一个最简真分数的分子、分母乘积为 420,这样的分数有(D)个。
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： D 【解析】420=2×2×3×5×7,420约数有1,420;2,210;3,140;4,105;5,84;6,70;7,60;10,42;12,35;14,30;15,28;20,21。其中分子与分母互质,且分母大于分子的真分数有:$\frac{1}{420},\frac{3}{140},\frac{4}{105},\frac{5}{84},\frac{7}{60},\frac{12}{35},\frac{15}{28},\frac{20}{21}$,共8个数。

40. (2020 陕西 QH 中学)三个连续自然数的积是 1716,这三个自然数是11 12 13

答案： 11 12 13

41. (2024 陕西 TYZBH 学校)a、b、c、d 是四个不同的自然数,且$a×b×c×d= 2790,a+b+c+d$的值最小
是45

答案： 45 【解析】将2790分解质因数,2790=2×3×3×5×31,要使组成的四个数之和最小,这四个数要尽可能接近,即2790=3×5×6×31,故这四个数之和最小为3+5+6+31=45。

42. (2021 陕西 GXYZ)一个非零整数 a 与 7920 的积是一个完全平方数,则 a 的最小值为55

答案： 55 【解析】7920=2×2×2×2×3×3×5×11=2⁴×3²×5×11,要使得7920×a是一个完全平方数,那么分解出的质因数个数必须是偶数个,而7920分解质因数后5,11各有1个,所以与之相乘的a至少含有1个因数5和1个因数11,即a最小为5×11=55。

43. (2023 陕西 GXYZ 博雅班)写出不大于 100 且恰好有 8 个因数的所有自然数的和是548

答案： 548 【解析】恰好有8个因数的自然数可以表示为a¹×b³或a¹×b¹×c¹,又因为不大于100,则为2¹×3³=54,3¹×2³=24,5¹×2³=40,7¹×2³=56,11¹×2³=88,2¹×3¹×5¹=30,2¹×3¹×7¹=42,2¹×3¹×11¹=66,2¹×3¹×13¹=78,2¹×5¹×7¹=70,和为54+24+40+56+88+30+42+66+78+70=548。

44. (2024 重庆 BS 中学)甲乙是两个不同的自然数,它们都只含有质因数 2 和 3,并且都有 12 个因数,它们的最大公因数是 12,则甲乙两数之和是204

答案： 204 【解析】因为12=2²×3,所以甲、乙两个数的质因数至少含有两个2和一个3。因为甲、乙两个数都有12个因数,12=2×6=3×4,所以甲、乙可能是2⁵×3、2²×3³、2³×3²,即96、108、72,又因为两个数不同,且最大公因数是12,所以甲、乙只能分别是96和108或108和96,96+108=204。

45. (2024 陕西 TYZ)若$2^{a}×3^{b}×5^{c}×7^{d}= 252000$,从自然数 a、b、c、d 中任取 3 个组成三位数,则这个三位数可被 3 整除并且小于 250 的概率是25%

答案： 25% 【解析】2⁵×3²×5³×7¹=252000,所以a=5,b=2,c=3,d=1,符合要求的三位数有123,132,135,153,213,231,共6个,总共可以组成的三位数有4×3×2=24(个),所以概率为6÷24×100%=25%。

46. (2024 陕西 JDFZ 少年班)在所有的正整数中,因数的和不超过 30 的共有19个。

答案： 19

47. (2024 陕西 JDFZ 少年班)一个正整数 N 有 1974 个因数,并且 N 的所有质因数都没有超过 40,N 的个位数是 1、3、7、9 中的一个。这样的 N 有10000个。

答案： 10000 【解析】由尾数知N的质因数不包含2和5,N的所有质因数不大于40,所以只能是3、7、11、13、17、19、23、29、31、37。①因为1974=2×3×7×47,所以N的质因数有4个,$A_{10}^4$=5040个;②1974=(2×3)×(7×47)(或其他组合方法,共$C_4^2$种),则N的质因数有3个,$A_{10}^3$×$C_4^2$=4320个;③1974=(2×3×7)×47(或其他组合方法,共($C_4^1$+3)种),则N的质因数有2个,$A_{10}^2$×($C_4^1$+3)=630个;④1974=1974,则N的质因数只有1个,$A_{10}^1$=10。所以一共有5040+4320+630+10=10000个。解题技巧 因数个数定理的逆用:自然数因数个数A=(1+a₁)(1+a₂)···(1+aₙ),则a₁,a₂,···,aₙ为该自然数分解质因数所得的质因数指数。