《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

15. (2024陕西GDFZ)提出问题:有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是16厘米、6厘米、2厘米。现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使大长方体的表面积最小?
实践操作:我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体体积都不变,但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化。经过操作,发现共有3种不同的摆放方式,如图所示:

(1)请通过计算比较图①,图②,图③中的大长方体的表面积中哪个最小?
(2)现在有4个小长方体纸盒,每个小长方体纸盒的长、宽、高都分别是16厘米、6厘米、2厘米。若将这4个纸盒搭成一个大长方体,共有______种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小为______平方厘米。
(3)现在有4个小长方体纸盒,每个小长方体纸盒的长、宽、高都分别是a、b、c,$a＞2b,b＞2c$。若将这4个长方体纸盒搭成一个大长方体,共有多少种不同的方式?搭成的大长方体的表面积最小为多少平方厘米? (用含a,b,c的式子表示)

答案：
15.解:
(1)图①的表面积:2×(16×6+16×4+6×4)=368(平方厘米),图②的表面积:2×(32×6+32×2+6×2)=536(平方厘米),图③的表面积:2×(16×12+16×2+12×2)=496(平方厘米),368＜496＜536。
答:图①的表面积最小。
(2)7 544 [解析]7种搭法如解图
(1),图①:2×(16×4×6+16×4×2+2×6)=1048(平方厘米),图②:2×(16×24+2×24+16×2)=928(平方厘米),图③:2×(16×12+16×4+12×4)=608(平方厘米),图④:2×(16×6+16×8+6×8)=544(平方厘米),图⑤:2×(32×6+32×4+4×6)=688(平方厘米),图⑥:2×(32×12+32×2+12×2)=944(平方厘米),图⑦:2×(6×16+8×16+6×8)=544(平方厘米),则搭成的大长方体的表面积最小为544平方厘米。

(3)共有6(a≠3b且b≠3c)或7(a=3b或b=3c)或8(a=3b且b=3c)种不同的方式。
①若a=3b或b=3c,如解图
(1)共7种;②若a=3b且b=3c,如解图
(1)加解图
(2)共8种。
图①:2×(4ab+bc+4ac)=8ab+2bc+8ac;图②:2×(ac+4ab+4bc)=8ab+8bc+2ac;图③:2×(2ab+4bc+2ac)=4ab+8bc+4ac;图④:2×(4ac+ab+4bc)=2ab+8bc+8ac;图⑤:2×(2ab+4ac+2bc)=4ab+4bc+8ac;图⑥:2×(4ab+2bc+2ac)=8ab+4bc+4ac;图⑦:2×(3ac+4bc+ac+ab)=2ab+8bc+8ac;图⑧:2×(4ab+ac+ac+bc)=8ab+2bc+4ac,故表面积最小为2ab+8bc+8ac。

第15题解图
(2)

16. (2024河南ZZIZ改编)【问题提出】在由$m×n(m×n＞1)$个小正方形(边长为1)组成的长方形网格中,该长方形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m,n有何关系?
【问题探究】为探究规律,我们采用一般问题特殊化策略,通过分类讨论,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法。
探究一:当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察图①并完成下表:

|长方形横长m|2|3|3|5|4|5|...|
|长方形纵长n|1|1|2|2|3|3|...|
|长方形一条对角线所穿过的小正方形个数f|2|3|4|6|6|x|...|

①观察上表数据,表中的x= ______。
②结论:当m,n互质时,在$m×n$的长方形网格中,该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是______。
探究二:当m,n不互质时,不妨设$m= ka,n= kb$(a,b,k为正整数,且a,b互质),观察图②并完成下表:

|a|2|3|3|5|2|3|...|
|b|1|1|2|2|1|1|...|
|k|2|2|2|2|3|3|...|
|矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f|4|6|8| |6| |...|


结论:当m,n不互质时,若$m= ka,n= kb$(a,b,k为正整数,且a,b互质)。在$m×n$的矩形网格中,该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是______。
【模型应用】一个由边长为1的小正方形组成的长为630,宽为490的矩形网格中,该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是______。
【模型拓展】如图③,在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中,经过顶点A,B的直线穿过的小正方体的个数是______个。

答案：
16.探究一:①7②f=m+n−1 [解析]探究一:当m、n互质时,根据表格可得:当m=2,n=1时f=2+1−1=2;当m=3,n=1时f=3+1−1=3;当m=3,n=2时f=3+2−1=4;…;当m=5,n=3时，f=5+3−1=7;该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n之间的关系式是f=m+n−1,故答案为:①7,②f=m+n−1。
探究二:12 9 f=k(a+b−1) [解析]当m、n不互质时,根据图②表格可得:当a=2,b=1,k=2,m=ka=4,n=kb=2时f=2×(2+1−1)=4;当a=3,b=1,k=2,m=ka=6,n=kb=2时,f=2×(3+1−1)=6;当a=3,b=2,k=2,m=ka=6,n=kb=4时,f=2×(3+2−1)=8;当a=5,b=2,k=2,m=ka=10,n=kb=4时f=2×(5+2−1)=12;当a=3,b=1,k=3,m=ka=9,n=kb=3时f=3×(3+1−1)=9;当m,n不互质时，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a,b,k之间的关系式是f=k(a+b−1),故答案为:12,9,f=k(a+b−1)。
[模型应用]1050 [解析]630与490不互质,ka=630=9×70,kb=490=7×70,a=9,b=7,k=70,该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是f=70×(9+7−1)=1050,故答案为:1050。
[模型拓展]6 [解析]如解图，连接长方体上下两个底面的对角线,得到矩形ACBD,AE=4,CE=4,∠AEC=90°,所以AC=$\sqrt{AE²+CE²}$=4√2,每个小正方体的对角线长为√2,AC的长是4个小正方体的对角线,BC=3,且4与3互质，
经过顶点A,B的直线穿过的小正方体的个数是4+3−1=6个,故答案为:6。