《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

7. (2023陕西GXYZ)

邻

边互不相等的长方形纸片,剪去一个正方形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……;依此类推,若第n次操作后余下的四边形是正方形,则称原长方形为n阶准正方形。(例如,若第3次操作后余下的四边形是正方形,则称原长方形为3阶准正方形)如图①,长方形ABCD中,若$AB= 1,BC= 2$,则长方形ABCD为1阶准正方形。
(1)判断与推理:
①小明为了剪去一个正方形,进行如下操作:如图②,把长方形ABCD沿BE折叠,使点A与点F重合,则四边形ABFE一定是______形;
②如图③,邻边长分别为2和3的长方形是______阶准正方形;
(2)操作、探究与计算,若长方形ABCD的邻边长分别为2,a(a＞2),且是3阶准正方形,请画出长方形ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值。

答案：
7.解:
(1)①正方 ②2 [解析]①由折线可以得出AB=BF,AE=FE,则矩形ABFE为正方形;②第一次操作应该减去一个边长为2的正方形,所以就剩下一个长为2、宽为1的矩形,再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形,则余下的就是一个边长为1的正方形。所以共操作2次,这个矩形是2阶准正方形。
(2)如解图所示。
　　　
第7题解图