《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

8. (2023陕西TYZ)有甲、乙两项工作,张师傅单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天,王师
傅单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天。如果两人合作完成这两项工作,最少需要多
少天?

答案： 解:分别将甲、乙的工作总量看作单位“1”,则张师傅单独完成甲、乙两项工作的效率分别为$1÷10=\frac{1}{10},1÷15=\frac{1}{15}$,王师傅单独完成甲、乙两项工作的效率分别为$1÷8=\frac{1}{8},1÷20=\frac{1}{20}$,
①当张师傅和王师傅合作分别完成甲、乙两项工作,需要的时间为$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{8})+1÷(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})=13\frac{1}{63}$(天);
②王师傅完成甲工作的效率高,先让王师傅完成甲项工作,同时张师傅完成乙项工作,王师傅完成甲工作后,再与张师傅一起完成剩下的乙工作:$1÷\frac{1}{8}=8$(天),$(1-\frac{1}{15}×8)÷(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})=4$(天),$8+4=12$(天);$12＜13\frac{1}{63}$,故最少需要12天。
答:最少需要12天。

9. (2024陕西GX3C)一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天
后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的$\frac {1}{3}$,又过了8天,完成了全部工作的$\frac {5}{6}$,若
余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

答案： 解:甲、乙、丙3人8天完成$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$,甲、乙、丙的工效和为$\frac{1}{2}÷8=\frac{1}{16}$,甲、乙、丙3人4天完成$\frac{1}{16}×4=\frac{1}{4}$,甲做一天后,甲、乙再合作2天,共做$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$,那么乙一天做$(\frac{1}{12}-\frac{1}{72}×3)÷2=\frac{1}{48}$,丙一天做$\frac{1}{16}-\frac{1}{72}-\frac{1}{48}=\frac{1}{36}$,余下的由丙做需要$(1-\frac{5}{6})÷\frac{1}{36}=6$(天)。
答:若余下的工作由丙单独完成,还需要6天。

10. (2024陕西TYZBH学校)甲、乙、丙三队要完成A,B两项工程,B工程的工作量是A工程工作量再
增加$\frac {1}{4}$,如果让甲、乙、丙三队单独做,完成A工程所需要的时间分别是20天,24天,30天。现在让
甲队做A工程,乙队做B工程,为了同时完成这两项工程,丙队先与乙队合作B工程若干天,再与
甲队合作A工程若干天。问丙队与乙队合作了多少天?

答案： 解:把A工程工作量看作单位“1”,则B工程工作量为$1+\frac{1}{4}$,总工作量为$1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$。甲队的工作效率为$1÷20=\frac{1}{20}$,乙队的工作效率为$1÷24=\frac{1}{24}$,丙队的工作效率为$1÷30=\frac{1}{30}$,则工作总时间为$\frac{9}{4}÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{24}+\frac{1}{30})=18$(天),乙队18天的工作量是$18×\frac{1}{24}=\frac{3}{4}$,乙、丙合作时,丙的工作量是$(1+\frac{1}{4})-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$,丙与乙合作的时间是$\frac{1}{2}÷\frac{1}{30}=15$(天)。
答:丙队与乙队合作了15天。

11. (2022陕西TYZBH学校)工地上有一批水泥,如用2辆卡车3天可以运完,用3辆小货车6天可以
运完,用10辆小板车8天可以运完,现在用1辆卡车、2辆小货车和5辆小板车共同运2天后,全
改用3辆小货车运,还需要多少天?

答案： 解:一辆卡车的工作效率:$1÷2÷3=\frac{1}{6}$,一辆小货车的工作效率:$1÷3÷6=\frac{1}{18}$,一辆小板车的工作效率:$1÷10÷8=\frac{1}{80}$,共同运2天的工作量:$\frac{1}{6}×2+\frac{1}{18}×2×2+\frac{1}{80}×5×2=\frac{49}{72}$,改用3辆小货车还需要的天数:$(1-\frac{49}{72})÷(3×\frac{1}{18})=1\frac{11}{12}$(天)。
答:还需要$1\frac{11}{12}$天。