《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

15. (2024 陕西 D3ZX)在一个正方形的纸板内有若干个点(称为内点),用这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点,能画出多少个不重叠的三角形? 如图中分别画出了正方形内有1个内点、2个内点、3个内点的情形。

(1)根据上图,完成下表。
|内点数(个)|1|2|3|
|三角形数(个)|4|6|8|

(2)正方形内有100个内点,能画出多少个不重叠的三角形?
解:由(1)可得,有n个内点时,有$(2n+2)$个三角形。当$n=100$时,$2n+2=2×100+2=202$(个)。答:正方形内有 100 个内点,能画出 202 个不重叠的三角形。

答案：
(1)4,6,8【解析】1 个内点时,有 4 个三角形;2 个内点时,有$4+2=6$(个)三角形;3 个内点时,有$4+2×2=8$(个)三角形;4 个内点时,有$4+2×3=10$(个)三角形;…;n个内点时,有$4+2(n-1)=(2n+2)$个三角形。
(2)解:由
(1)可得,有n个内点时,有$(2n+2)$个三角形。当$n=100$时,$2n+2=2×100+2=202$(个)。答:正方形内有 100 个内点,能画出 202 个不重叠的三角形。

16. (2024 陕西 CDFZ)现有如下一系列图形:
当n= 1时,长方形ABCD分为2个直角三角形,总计数出5条边。
当n= 2时,长方形ABCD分为8个直角三角形,总计数出16条边。
当n= 3时,长方形ABCD分为18个直角三角形,总计数出33条边。
……
按如上规律请你回答:当n= 100时,长方形ABCD应分为多少个直角三角形? 总计数出多少条边?

答案： 解:由图形可以看出,第n个图形中,长方形的长被分成了n份,长方形的宽也被分成了n份,所以每个图形中有$n×n$个小长方形,每个长方形又分成了 2 个直角三角形,所以第n个图形中有$2n^{2}$个直角三角形,则当$n=100$时,长方形 ABCD 应分得的直角三角形数量是$2×100^{2}=20000$(个);图形中最外边的边有 4n 条,如果每个三角形边数和再加上4n 就将图形中边数加了两遍,所以图形中边数为$(\frac{2n^{2}×3+4n}{2})$条,即$(3n^{2}+2n)$条,当$n=100$时,$3n^{2}+2n=3×100^{2}+2×100=30200$(条)。答:当$n=100$时,长方形 ABCD 应分为 20000 个直角三角形,总计数出 30200 条边。

17. (2023 陕西 CDFZ)如图,将自然数1,2,3,…,按箭头所指方向顺序排列,依次在2,3,5,7等数的位置拐弯,如数2算做第一次拐弯处,那么第15次拐弯处的数是 (D)
A.35
B.45
C.55
D.65

答案： D