《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

11. (2024陕西GXYCY中学)起源:古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:
如图,有一位将军从位于A点的军营,返回位于B点的家中,途中需要到达一条小河MN边,让马去河里喝水。那么,该如何选择路径,才能使将军回家的过程中,走过的路程最短?
精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作"将军饮马"问题。
初一看,这个问题好像没有什么思路,那我们先把问题的概念转换一下。如图①,这个问题中A点和B点在河MN的同一侧,那么,如果A点和B点在河MN的不同侧呢?
这时我们好像有一点眉目了,我们要利用的定理就是:两点之间线段最短,先找线路再找点。
那我们再回到最开始时的问题,是不是有了启发呢?
思路:为了找线路,可以利用轴对称的原理,先做对称,再转化成三角形的三边关系。
(1)如图①,在l上找一点P,使$PA+PB$最小;

(2)如图②,在等腰三角形ABC中,$AB= AC= 6,AD⊥BC$,E是AC上的一点,M是AD上的一点,已知三角形ABC面积为15,求$EM+MC$的最小值。

答案：
11.解:
(1)如解图①,方法:作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交l于点P,连接BP,则AP+BP=AB',由“两点之间，线段最短”可知,点P即为所求的点。
　　
第11题解图
(2)因为AB=AC=6,如解图②,连接BM,则BM=MC,EM+MC=EM+MB,当点B、M、E在一条直线上,且BE⊥AC时，EM+MC取最小值,EM+MC的最小值就是线段BE的长度。
因为三角形ABC的面积是15,所以BE=15×2÷6=5。
答:EM+MC的最小值是5。