《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

15. (2020 陕西 GXYZ)从自然数 1~1000 中最多可以选出334个数,使得被选出的数中任意两个数的差都不整除它们的和。

答案： 334 【解析】将自然数1到999分成333组:1,2,3;4,5,6;7,8,9;…;997,998,999。每组中的数都是三个连续的自然数,任选出其中的两个数,如果这两个数奇偶相同,则和为偶数,差为2;否则和为奇数,差为1。所以,在某组中任选两个数,它们的差都可以整除它们的和。根据抽屉原理如果从1~1000中选出的数的个数大于334,必定有两个数在前面所给的333组数的某组中,这样选出的数不满足题目要求。另一方面,当选出1,4,7,…,1000,即选出的数为3k+1(k=0,1,2,…,333)时,其中任意两个数的和被3除余2,它们的差是3的倍数,满足题目的要求。所以最多可以选出334个数。

16. (2023 陕西 GX3C 创新班)一副扑克牌有 54 张,最少要抽取16张牌,方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数。(大小王算不同点数)

答案： 16 【解析】构造抽屉:54张牌,根据点数特点可以分别看做15个抽屉,考虑最差情况:每个抽屉都摸出了1张牌,共摸出15张牌,此时再任意摸出一张,无论放到哪个抽屉,都会出现有两张牌在同一个抽屉,即两张牌点数相同,15+1=16(张),至少抽取16张扑克牌,方能使其中至少有2张牌有相同的点数。

17. (2024 陕西 TYZ 元培班)从 1 至 2024 这 2024 个自然数中至少要取出多少个数,才能保证其中必有两个数互质?

答案： 解:如果把所给数中的所有偶数取出来,则取出的这些数中就不存在任何一对互质数,在所给的1到2024中有1012个偶数,取出1012个偶数,再取出第1013个数,则此时1013个数里面,必然会有两个是相邻的自然数,又因为任意两个相邻的自然数(0除外)必定是互质数,所以至少取1013个数。答:至少取出1013个数。

18. (2024 重庆 XNDXFZ)学校开办了击剑、泥塑、美术、书法四个课外学习班,每个学生至少参加 1 个,最多参加 3 个。请问:至少有多少名学生,才能保证有不少于 5 名同学参加学习班的情况完全相同?

答案： 解:构造抽屉:把报名一门课外学习班、报名二门课外学习班、报名三门课外学习班看作3个抽屉,第一个抽屉有4种情况,第二个抽屉有6种情况,第三个抽屉有4种情况,接下来再有一个人都会重复,所以一共有4+6+4=14(种)情况,至少有14×4+1=57(名)学生才能保证不少于5名同学参加学习班的情况完全相同。答:至少有57名学生才能满足题干要求。

19. (2021 陕西 GXYZ)有 30 个孩子,每人胸前有一个号码,号码恰为 1 到 30,现挑选出若干个小孩排成一个圆圈,使任何相邻两个孩子号码数乘积小于 100,问:最多能挑选出多少个孩子?说明理由。

答案： 解:最多能挑选出18个孩子。理由:
根据抽屉原理:将1~30中相乘小于100的两个数,按被乘数构造成9个抽屉,如下:
(1×2),(1×3),(1×4),…,(1×30)
(2×3),(2×4),…,(2×30)
(3×4),…,(3×30)
…
(9×10),(9×11)
因为每个数只能与左右两个数相乘,也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次,所以每一个抽屉中最多会有两对数出现在圆圈中,最多可以取出18个数对,共18×2=36(次),但是每个数都出现两次,故出现了18个数。若随意选出19个孩子,那么共有19个号码,由于每个号码数要与旁边两数分别相乘,则会形成19个相乘的数对。那么在9组中取出19个数时,有19=9×2+1,由抽屉原理可知,必有三个数对落入同一组中,这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上),由分析知,这是不允许的,故最多能挑选出18个孩子。

20. (2024 陕西 JDFZ 少年班)围着一张可以转动的圆桌,均匀地放着 8 把椅子,在桌子上对着椅子放有 8 个人的名片。这 8 个人入座后,将圆桌顺时针转动,第一次转 45°,从第二次开始,每次转动比上一次多转 45°。每转动一次,当某人对着自己的名片时,取走自己的名片,如果入座时谁都没有对着自己的名片,那么桌子至少转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿到了自己的名片?

答案： 解:第一次转45°,从第二次开始每一次转动比上一次多转45°,则从第一次到第k次共转了$\frac{1}{2}×k×(k+1)×45°$。要想保证每个人都拿到自己的名片,则需要每个人至少与桌子上的卡片位置对上一次,从某个人名片开始顺时针记每张名片对应的椅子位置为第0,1,2,3,4,5,6,7号,则8个数为一个周期,第k次转动后,0位置的名片对应的椅子位置的号数为$\frac{\frac{1}{2}k×(k+1)×45}{45}=\frac{1}{2}k×(k+1)$,除以8的余数如下表:
|k|1|2|3|4|5|6|7|8|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$\frac{1}{2}k×(k+1)$|1|3|6|10|15|21|28|36|
|$\frac{1}{2}k×(k+1)$除以8的余数|1|3|6|2|7|5|4|4|
由上表可以看出,前7次旋转,第0号名片所处的位置各不相同,并且都不在0号卡片的起始位置,因此由抽屉原则,0号卡片的主人一定可以拿到自己的卡片,由对称性,旋转7次,所有的人都拿到了卡片,当旋转次数小于7时,通过表中$\frac{1}{2}k×(k+1)$除以8的余数这一行可以看出,第0号名片在第4号位置上没有停留过,如果第0号的名片上的人正好坐在第4号位置上,则这个人就拿不到自己的名片,所以旋转的度数为$\frac{1}{2}×7×(7+1)×45°=1260°$。
答:桌子至少转1260度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片。