《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

12. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)如图,半径为 1 cm 的圆在周长为 20 cm 的三角形外贴着边作无滑动的滚动,若圆绕三角形滚动一周,则圆心走过的路径长为______cm。(π 取 3.14)

答案：
26.28[解析]半径为1cm的圆沿着三角形边滚动一周的路线如解图所示，圆的圆心走过的距离等于三角形的周长加上半径为1cm的圆的周长,即3.14×2×1+20=26.28(cm)。

13. (2021 陕西 GXYZ)三枚半径为 1 cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上,让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置,那么与原 A 点重合的点是哪个点?硬币圆心运动轨迹的周长是多少 cm?(结果保留 π)

答案：
解:根据解图可以得到硬币刚好转动了三周,所以硬币回到原来的位置后与A点重合的点仍然是A点，而硬币圆心的运动轨迹是三个半径为2cm的半圆,故硬币圆心运动轨迹的周长为$\frac{1}{2}$×2π×2×3=6π(cm)。答:与原A点重合的点是A点，硬币圆心运动轨迹的周长是6πcm。

14. (2024 陕西 TYZ)已知两正方形在数轴上运动,起始状态如图所示。A、F 表示的数分别为-2、10,大正方形的边长为 4 个单位长度,小正方形的边长为 2 个单位长度,两正方形同时出发,沿数轴相向平移,小正方形平移的速度是大正方形平移速度的两倍,两个正方形从相遇到刚好完全离开用时 2 秒。
(1)求起始位置 D、E 表示的数;
(2)求两正方形运动的速度;
(3)M、N 分别是 AD、EF 的中点,当正方形开始运动时,射线 MA 开始以 15°/s 的速度顺时针旋转至 MD 结束,射线 NF 开始以 30°/s 的速度逆时针旋转至 NE 结束,当两射线所在直线互相垂直时,求 MN 的长。

答案： [思路分析]
(3)设两个正方形的运动时间为t秒，射线MA与射线NF垂直分两种情况:情况一:两射线第一次平行前,两射线所在直线的夹角是90°,即15°t+30°t=90°;情况二:两射线所在直线第一次平行后，两射线所在直线的夹角是90°,即15°t+30°t=360°−90°=270°。解:
(1)因为小正方形、大正方形的边长分别为2、4,所以AD=2,EF=4,所以点D表示的数为−2+2=0,点E表示的数为10−4=6。答:起始位置D,E表示的数为0,6。
(2)设大正方形运动的速度为每秒x个单位长度，则小正方形运动的速度为每秒2x个单位长度，由题意得2×(x+2x)=2+4,解得x=1。答:大正方形运动的速度为每秒1个单位长度，小正方形运动的速度为每秒2个单位长度。
(3)设运动时间为t秒,依题意可知,若两射线所在直线互相垂直,则有以下两种情况:15°t+30°t=90°或15°t+30°t=360°−90°=270°。①当15°t+30°t=90°时,解得t=2,此时小正方形运动了4个单位长度,D点在数字4的位置,大正方形运动了2个单位长度,E点也在数字4的位置，即D、E两点重合。因为M、N分别是AD、EF的中点，所以DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1,EN=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×4=2,所以MN=DM+EN=1+2=3;②当15°t+30°t=270°时,解得t=6,此时小正方形运动了12个单位长度,D点在数字12的位置,大正方形运动了6个单位长度，E点在数字0的位置。因为M、N分别是AD、EF的中点,所以DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1,EN=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×4=2,M点在数字11的位置,N点在数字2的位置,则MN=11−2=9。两射线所在直线互相垂直时,MN的长为3或9。

15. (2024 陕西 JDFZ)如图,直线上有 A、B、O 三点,点 A 与点 O 的距离为 8 米,比点 B 与点 O 的距离多$\frac {1}{3}$,以点 O 为圆心,以点 B 与点 O 的距离为半径作圆心角为 90°的扇形,其面积记为$S_{1}$。(结果保留 π)
(1)求$S_{1}$的值;
(2)若有一个动点 P 以每秒 2 米的速度从点 A 出发向右匀速运动,则当点 P 运动多少秒时,点 P 到点 B 的距离与点 P 到点 O 的距离的比为 2∶1?
(3)在(2)的条件下,连接 BC、CP,将三角形 CPB 的面积记为$S_{2}$,求$S_{1}与S_{2}$不重合部分的面积。

答案：
解:
(1)点B与点O的距离为8÷(1+$\frac{1}{3}$)=8÷$\frac{4}{3}$=6(米),S₁=$\frac{90}{360}$×π×6×6=9π(平方米)。答:S₁的值为9π平方米。
(2)如解图:由题意可知BP:PO=2:1,当点P在点O左侧时,如解图①,因为BO=6米,所以BP=4米,A、B两点间的距离为8−6=2(米),点P运动了AP=2+4=6(米),运动时长为6÷2=3(秒);当点P运动到点O右侧时,如解图②,BP:PO=2:1,即BO=PO=6米,点P运动了AP=2+6+6=14(米),运动时长为14÷2=7(秒)。答:当点P运动3秒或7秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2:1。
(3)当点P运动3秒时,S₂=4×6÷2=12(平方米)，不重合部分的面积为S₁−S₂=(9π−12)平方米;当点P运动7秒时,因为S△COP=S△COB=6×6÷2=18(平方米),所以不重合部分的面积为S₁−S△COB+S△COB=9π−18+18=9π(平方米)。答:S₁与S₂不重合部分的面积是(9π−12)平方米或9π平方米。