《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

21. (2023陕西JDFZHTXX)有一根1米长的木条,第一次锯掉它的$\frac{1}{3}$,第二次锯掉余下的$\frac{1}{4}$,第三次锯掉余下的$\frac{1}{5}$,…,这样下去,最后一次锯掉余下的$\frac{1}{8}$,这根木条最后剩(B)米。
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： B 【解析】$1×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{6})×(1-\frac{1}{7})×(1-\frac{1}{8})=1×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{6}{7}×\frac{7}{8}=\frac{1}{4}$(米)。

22. (2022陕西GX11C)某水果超市购进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克,其中苹果占$\frac{2}{5}$,桔子占剩下的$\frac{2}{5}$,香蕉的进价为每千克3元,桔子每千克的进价比香蕉多$\frac{1}{3}$,苹果的进价是桔子的$\frac{5}{4}$。
(1)求水果超市购进苹果多少千克?
(2)求购进的苹果比香蕉多多少千克?
(3)在销售过程中,三种水果分别提价$\frac{3}{4}$销售,因腐烂等原因都有$\frac{1}{6}$的损失,将这批水果全部卖出,该超市共赚多少元钱?

答案： 解:
(1)购进苹果:$600×\frac{2}{5}=240$(千克)。答:水果超市购进苹果240千克。
(2)购进香蕉:$600×(1-\frac{2}{5})×(1-\frac{2}{5})=216$(千克),苹果比香蕉多:$240-216=24$(千克)。答:购进的苹果比香蕉多24千克。
(3)购进桔子:$600-240-216=144$(千克),桔子的进价:$3×(1+\frac{1}{3})=4$(元/千克),苹果的进价:$4×\frac{5}{4}=5$(元/千克),三种水果的总成本:$240×5+144×4+216×3=2424$(元),三种水果的总售价:$2424×(1+\frac{3}{4})×(1-\frac{1}{6})=3535$(元),共赚:$3535-2424=1111$(元)。答:该超市共赚1111元。

23. (2024重庆HF8Z)某公司进行年终分红,规定按下面的规则将钱平均分给每个人,第一个人先取1元,再取余下的$\frac{1}{2021}$;接着第二人先取2元,再取余下的$\frac{1}{2021}$;…,如此继续下去,第k个人先取k元,再取余下奖金的$\frac{1}{2021}$,最后奖金被分完,则公司有多少人参与分红?

答案： 解:设总钱数为x元,$1+(x-1)\frac{1}{2021}=2+[x-(x-1)\frac{1}{2021}-1-2]\frac{1}{2021}$$1+\frac{x}{2021}-\frac{1}{2021}=2+\frac{x}{2021}-\frac{x}{2021}\cdot\frac{1}{2021}+\frac{1}{2021^2}-\frac{3}{2021}$$1=2-\frac{(x-1)}{2021^2}-\frac{2}{2021}$$x-1=2019×2021$$x=4080400$则每个人分到的钱数为$1+4080399×\frac{1}{2021}=2020$(元),参与分红的人数为$4080400÷2020=2020$(人)。答:该公司有2020人参与分红。

24. (2024陕西JD2FZ)甲、乙两数是自然数,且甲数、乙数均不为零,如果甲数的$\frac{3}{4}恰好是乙数的\frac{2}{3}$,那么甲、乙两数和的最小值是______17。

答案： 17 【解析】因为甲数$×\frac{3}{4}=$乙数$×\frac{2}{3}$,所以甲数=乙数$×\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}=$乙数$×\frac{8}{9}$,甲数+乙数=乙数+乙数$×\frac{8}{9}=$乙数$×(1+\frac{8}{9})=$乙数$×\frac{17}{9}$。因为甲、乙两数是自然数,所以甲、乙两数之和也是自然数。要使甲、乙两数之和最小,乙数只能是9,甲数是8,则甲、乙两数和的最小值是17。

25. (2024湖南CSZYPC学校)下了半局的围棋,盒子里剩下的黑子颗数的$\frac{1}{2}等于白子颗数的\frac{3}{4}$,已知黑子颗数比白子颗数多30颗.则黑子、白子分别有90颗、60颗。

答案： 90 60 【解析】盒子里黑子数是白子的$\frac{3}{4}÷\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,白子有$30÷(\frac{3}{2}-1)=60$(颗),黑子有$60+30=90$(颗)。