《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2024陕西GDFZ)先仔细阅读材料,再尝试解决问题。
材料:下列等式:$4-\frac {3}{5}= 4×\frac {3}{5}+1,7-\frac {3}{4}= 7×\frac {3}{4}+1,...$,具有$a-b= ab+1$的结构特征,我们把满足这一特征的一对有理数称为"共生有理数对",记作$(a,b)$。例如:$(4,\frac {3}{5}),(7,\frac {3}{4})$都是"共生有理数对"。
(1)在两个数对$(-2,1),(2,\frac {1}{3})$中,"共生有理数对"是______$(2,\frac{1}{3})$;
(2)请再写出一对"共生有理数对"______$(-\frac{1}{2},-3)$;(要求：不与题目中有的"共生有理数对"重复)
(3)若$(x,-2)$是"共生有理数对",求x的值;因为$(x,-2)$是“共生有理数对”，所以$x-(-2)=-2x+1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
(4)若$(m,n)$是"共生有理数对",请判断$(-n,-m)$是否为"共生有理数对",并说明理由。是，理由如下：因为$(m,n)$是“共生有理数对”，所以$m-n=mn+1$。又因为$-n-(-m)=m-n=mn+1=(-n)(-m)+1$，所以$(-n,-m)$是“共生有理数对”。

答案： 1.解:
(1)(2,$\frac{1}{3}$)[解析]因为(−2)−1=−3,(−2)×1+1=−1,−3≠−1,所以(−2,1)不是“共生有理数对”;因为2−$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$,2×$\frac{1}{3}$+1=$\frac{5}{3}$,$\frac{5}{3}$=$\frac{5}{3}$,所以(2,$\frac{1}{3}$)是“共生有理数对”。
(2)(−$\frac{1}{2}$,−3)(答案不唯一)[解析]设一对“共生有理数对”为(x,−3),所以x−(−3)=x+3=−3x+1,解得x=−$\frac{1}{2}$,所以可写“共生有理数对”为(−$\frac{1}{2}$,−3)。(答案不唯一)
(3)因为(x,−2)是“共生有理数对”,所以x−(−2)=−2x+1,所以x=−$\frac{1}{3}$。
(4)是,理由如下:
因为(m,n)是“共生有理数对”,
所以m−n=mn+1,
因为−n−(−m)=m−n=mn+1=(−n)(−m)+1,
所以(−n,−m)是“共生有理数对”。

2. (2023陕西TYZ)指数与对数是数学中两个非常重要的概念(本题中所有参数均为正整数),其中指数表示为$a^{b}$,意思是b个a相乘(如$2^{3}= 2×2×2$)。而对数作为指数运算的逆运算形式如下:$log_{a}b,$其中a叫做底数,b叫做真数,这个符号代表的数字的意义是a的多少次方的值为b,如$log_{3}8= 3,3^{3}= 27,log_{3}27= 3,3^{3}= 27$。
(1)试计算$log_{5}25+log_{5}125$的值;
(2)通过上面式子能否猜想一下$log_{6}18+log_{6}2$的值;
(3)通过上面的问题总结一下规律给出$log_{a}b+log_{a}c$的结果,并尝试证明。

答案： 2.解:
(1)5²=5×5=25,5³=5×5×5=125,
log₅25+log₅125=2+3=5。
(2)由5⁵=5×5×5×5×5=3125,125×25=3125,
可以猜想:log₅25+log₅125=log₅(25×125)=log₅3125=5,则log₆18+log₆2=log₆(18×2)=log₆36=2。
(3)规律:logₐb+logₐc=logₐbc,证明如下:设logₐb=x,logₐc=y,aˣ=b,aʸ=c,bc=aˣ·aʸ=aˣ⁺ʸ,所以logₐbc=x+y,即logₐb+logₐc=logₐbc。