《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

15. (2023 陕西 GDFZ)如图,四边形 ABCD 是长方形,AD= 10 厘米,AB= 6 厘米,AC和 BD 是对角线,图中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周,则阴影部分扫过的立体图形的体积是 942立方厘米。(π 取 3.14)

答案： 942　[解析]△BOC和△AOD扫过的立体图形的体积相等，△BOC扫过的体积=△BCD扫过的体积−△COD扫过的体积，△BCD扫过的体积是一个圆锥体，其体积为$\frac{1}{3}π×10^{2}×6=200π$(立方厘米)，△COD扫过的立体图形可以看作是两个底面半径为5厘米，高为3厘米的圆锥体，体积为$2×\frac{1}{3}π×5^{2}×3=50π$(立方厘米)，所以△BOC扫过的体积为200π−50π=150π(立方厘米)，则阴影部分扫过的立体图形的体积是150π×2=942(立方厘米)。

16. (2023 陕西 TYZ)如图,左边正方形的边长为 4,右边正方形对角线长度为 6。如果按照图中的方式旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?

答案： 解:第一个图形旋转得到一个圆柱：3.14×2²×4=50.24，第二个图形旋转得到两个圆锥：$\frac{1}{3}×3.14×3^{2}×3×2=56.52$，50.24:56.52=8:9。　　答:得到的两个旋转体的体积之比是8:9。

17. (2023 陕西 SDFZ)如图,在内侧棱长为 30 cm 的正方体容器内装满水,将这个容器如图倾斜放置在桌面上,流出的水正好装满一个内侧棱长为 15 cm 的正方体容器,则图中线段 AB 的长度是22.5cm。

答案： 22.5　[解析]$30 - 15×15×15×2÷(30×30)=30 - 3375×2÷900=30 - 6750÷900=30 - 7.5=22.5$(cm)。

18. (2024 陕西 GDFZ)把一块棱长为 9 cm 的正方体铁块熔铸成一个底面半径为 9 cm 的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少 cm?(π 取 3.14,得数保留一位小数)

答案： 解:$9×9×9×3÷(π×9^{2})≈8.6$(cm)。　　答:这个圆锥形铁块的高约是8.6cm。

19. (2024 重庆 LJBS 中学)如图,一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱和一个圆锥组成,圆柱的底面直径和高都是 12 厘米。其内有一些水,正放时水面离容器顶部 11 厘米,倒放时水面离顶部 5 厘米,那么这个容器的体积是多少立方厘米?(π 取 3.14)

答案： 解:正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，从倒放图中可以求出空的部分的体积是$3.14×(12÷2)^{2}×5=565.2$(立方厘米)，假设正放时，空的部分恰好是圆锥，体积为$\frac{1}{3}×3.14×(12÷2)^{2}×11=414.48$(立方厘米)，因为565.2立方厘米＞414.48立方厘米，所以假设不成立，也就是说正放时，圆柱有部分是空的。设圆锥高为x厘米，以两种情况下空的体积相等为等量关系列方程：$5×3.14×6^{2}=(11 - x)×3.14×6^{2}+\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×x$，解得x=9。所以这个容器的体积为$3.14×6^{2}×12+\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×9=1695.6$(立方厘米)。　　答:这个容器的体积是1695.6立方厘米。

20. (2022 四川 MYDCJ 中学)如图,从一个长 3 cm,宽与高都是 2 cm 的长方体上挖掉一个棱长为 1 cm 的小正方体,它的表面积
(A)

A.比原来大
B.比原来小
C.不变
D.无法确定

答案： A　[解析]挖掉一个小正方体，露出了藏起来的左、右两个面，所以表面积变大了，选A。

21. (2024 陕西 CXGJDFZ)如图,一个棱长是 3 厘米的正方体挖去一个含该正方体一角的小长方体后,剩余部分的表面积是54平方厘米。

答案： 54　[解析]正方体挖去一个含该正方体一角的小长方体后，剩余部分的表面积与原正方体的表面积相等。因此$S_{表}=3×3×6=54$(平方厘米)。